Question

11．如图所示，P是水平面上的圆弧轨道，从高台边B点以速度v₀水平飞出质量为m的小球，恰能从固定在某位置的圆弧轨道的左端A点沿圆弧切线方向进入．O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角．已知：m=0.5kg，v₀=3m/s，θ=53°，圆弧轨道半径R=0.5m，g=10m/s²，不及空气阻力和所有摩擦，求
（1）A、B两点的高度差；
（2）小球能否到达最高点C，如能到达，小球对C点的压力大小为多少？

Answer 1

分析 （1）小球从B到A做平抛运动，根据小球到达A点时速度沿圆弧切线方向，由速度的分解法求出小球经过A点的速度，再由机械能守恒求AB间的高度差．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒求出小球到达C点的速度，再与C点的临界速度比较，分析小球能否到达最高点C，如能到达，再由牛顿运动定律求小球对C点的压力大小．

解答 解：（1）小球从B到A做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．据题知，小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
小球到达A点的速度为 v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{3}{cos53°}$=5m/s
对平抛运动的过程，由机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得A、B两点的高度差  h=0.8m
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒得：
 $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：v_C=3m/s
小球通过C点的最小速度为v，则 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$m/s
因为 v_C＞v，所以小球能到达最高点C．
在C点，由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：F=5N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为5N．
答：（1）A、B两点的高度差是0.8m．
（2）小球对C点的压力大小为5N．

点评 解决本题的关键掌握处理平抛运动的方法，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．并能把握圆周运动的临界条件．