Question

10．如图，竖直平面内固定一半径为R，口径很小的$\frac{3}{4}$圆形管道，管道的左半边内侧粗糙，其余部分光滑．与A管口紧挨放一个固定有轻弹簧的固定光滑斜面，弹簧自由伸长时上端与A管口齐平．一质量为m的小球（可视为质点）从A端正上方某处自由下落进入圆形管道，且经过管道最低点B处时小球对管壁的压力大小为其重力的9倍，小球继续运动，从管口C水平飞出后恰好沿斜面方向压缩弹簧，当弹簧被压缩最短时其形变量为x，求：
（1）小球在经过B点时速度大小．
（2）这一过程中摩擦力对小球做的功W_f．
（3）弹簧所获得的最大弹性势能Ep．

Answer 1

分析 （1）根据小球在B点的受力情况，由牛顿第二定律求小球在经过B点时速度大小．
（2）小球离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律求出C点的速度，再对B到C的过程，运用动能定理求摩擦力对小球做的功W_f．
（3）由平抛运动的规律求出斜面倾角的正弦值，再由机械能守恒定律求弹簧所获得的最大弹性势能Ep．

解答 解：（1）在最低点B处，对小球由牛顿第二定律：
$9mg-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
解得 v_B=2$\sqrt{2gR}$
（2）小球从C口作平抛运动，则有：
$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
${v_c}=\frac{R}{t}=\frac{{\sqrt{2gR}}}{2}$
B到C过程，由动能定理得：
${W_f}-mg•2R=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
解得摩擦力对小球做的功为：
W_f=-$\frac{7}{4}$mgR
（3）小球平抛达斜面时竖直分速度为：
${v_y}=\sqrt{2gR}$
速度方向与水平方向夹角为θ，也等于斜面倾角，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{C}}$=2
所以得：sin θ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
由机械能守恒得：${E_p}=mg（R+xsinθ）+\frac{1}{2}mv_C^2=mg（\frac{5}{4}R+\frac{{\sqrt{5}}}{5}x）$
答：（1）小球在经过B点时速度大小是2$\sqrt{2gR}$．
（2）这一过程中摩擦力对小球做的功W_f是-$\frac{7}{4}$mgR．
（3）弹簧所获得的最大弹性势能Ep是mg（$\frac{5}{4}$R+$\frac{\sqrt{5}}{5}$x）．

点评 本题是复杂的力学问题，要正确分析物理过程，把握过程的物理规律，应用机械能守恒定律、平抛运动、动能定理等规律即可正确解题．