Question

有一平行板电容器，内部为真空，两个极板的间距为d，极板长为L，极板间有一匀强电场，U为两极板间的电压，电子从极板左端的正中央以初速v射入，其方向平行于极板，并打在极板边缘的D点，如图（甲）所示．电子的电荷量用e表示，质量用m表示，重力不计．回答下面问题（用字母表示结果）．
（1）求电子打到D点的动能；
（2）电子的初速v必须大于何值，电子才能飞出极板；
（3）若极板间没有电场，只有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电子从极板左端的正中央以平行于极板的初速v射入，如图（乙）所示，则电子的初速v为何值，电子才能飞出极板？

Answer 1

【答案】分析：（1）电子从进入电场到运动到D的过程中，电场力做功，根据动能定理求解电子打到D点的动能；
（2）电子进入电场做类平抛运动，运用运动的分解法研究电子刚好打到极板边缘时的速度v，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出v，初速v必须大于v，电子才能飞出极板．
（3）电子垂直进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，当电子的速度较小，刚好从电容器左边边缘飞出磁场时半径等于；当电子的速度较大，刚好从右边边缘飞出磁场时，由几何知识求出半径，再根据牛顿第二定律求出初速度，即可得到初速度的范围．
解答：解：（1）设电子打到D点时的动能为E_k，由动能定理可得：
  …①
由①式解得：E_k=…②
（2）设电子刚好打到极板边缘时的速度为v，电子在平行板电容器间做类平抛运动，设其在竖直方向的加速度为a，在电场中的飞行时间为t，则由电场力及牛顿第二定律、平抛运动的规律可得：
  …③
d=at² …④
 v=…⑤
由③④⑤式联立解得：
所以电子要逸出电容器，必有：
（3）在只有磁场情况下电子要逸出电容器，有两种情况．
①电子从左边边缘飞出磁场，做半圆周运动，其半径：R₁=d…⑥
由洛仑兹力和向心力公式可得：ev₁B=m…⑦
由⑦式解得：v₁=…⑧
因此电子避开极板的条件是：v₁＜…⑨
②电子从右边出，做半圆周运动其半径：…⑩
由⑩式解得：R₂=
由洛仑兹力和向心力公式可得：ev₂B=m…（11）
由（11）式解得：v₂=…（12）
电子避开极板的条件是：v₂＞…（13）
答：（1）电子打到D点的动能是；
（2）电子要飞出电容器，必有．
（3）电子的初速v＜或v₂＞时，电子才能飞出极板．
点评：本题是带电粒子分别在匀强电场和匀强磁场中运动的问题，分别采用运动的分解法处理和几何知识求半径的方法研究，要注意挖掘隐含的临界条件．