Question

20．如图所示，水平桌面的右端有一质量为m的物块B，用长为L的不可伸长的细线悬挂，B对水平桌面压力刚好为零，水平桌面离地面的高度为h=5m，另一质量为2m的物块A在距水平桌面的右端s=4m处以v_o=5m/s的水平初速度向右运动，并与B发生弹性碰撞，已知A与桌面间的动摩擦因数为μ=0.2，物块均可视为质点，取g=10m/s²．
（1）求A与B碰撞前的速度大小；
（2）求碰撞后A的落地点与桌面右端的水平距离x；
（3）A与B碰后，要物块B能绕O点在竖直平面内做圆周运动，则细线的长度L必须满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）从A运动到B，只有摩擦力做功，根据动能定理求出A与B碰撞前的速度大小．
（2）A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒定律分别求出A、B碰撞前后的速度，根据高度求出平抛运动的时间，再根据A的速度和时间求出水平距离．
（3）物块A与物块B碰后，悬挂的细线始终有拉力，有两种临界情况，一种情况上升的最大高度为L，另一种情况物块能够做圆周运动，最高点的拉力恰好为零．根据动能定理求出L的长度．

解答 解：（1）对A从开始到与B碰前，有：
$-2μmgS=\frac{1}{2}×2mv_1^2-\frac{1}{2}×2mv_0^2$
解得：v₁=3m/s
（2）对AB碰撞，取水平向右为正，有：
2mv₁=2mv₂+mv₃ 
 $\frac{1}{2}×2mv_1^2=\frac{1}{2}×2mv_2^2+\frac{1}{2}×mv_3^2$
解得   v₂=1m/sv₃=4m/s
碰后对A作平抛运动，有：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$  
x=v₂t
解得：x=1m
（3）a、碰后，若B能做完整的圆周运动，B过最高点的临界条件为：
$mg=\frac{mv_B^2}{L}$
对B从碰后到最高点，有：
$-mg•2L=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_3^2$
解得：L=0.32m
b、碰后，若B不能做完整的圆周运动，则B必须在与圆心O等高处或以下某处速度为0
对B从碰后到与圆心O等高处，有：
$-mgL=0-\frac{1}{2}mv_3^2$
解得：L=0.8m
因此要使B能绕O在竖直平面内做圆周运动，细线的长度L必须满足条件：L≥0.8m 或    L≤0.32m
答：（1）A与B碰撞前的速度大小为3m/s．
（2）碰撞后A的落地点与桌面右端的水平距离x为1.0m．
（3）细线的长度L为0＜L＜0.32m或L＞0.80m．

点评 本题综合运用了动能定理、动量守恒定律和牛顿运动定律，对于第（3）问，要考虑两种临界情况，一是B上升的最大高度为L，二是恰好能做圆周运动．