题目内容
如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1．虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点．在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2．B1、B2方向均垂直纸面，方向如图所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q （粒子重力不计）．求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径．
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标．
（3）若撤去磁场B2，设粒子进入磁场的初速度与x轴的夹角为θ，试写出粒子打到y轴上的坐标与θ的关系式．
分析：（1）在MN上方，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，根据平衡条件列式求解速度；
粒子从O到P过程，做匀速圆周运动，圆心在OP连线的角平分线上；初速度沿x轴正方向，洛伦兹力指向圆心，提供向心力，结合左手定则可知，圆心一定在y轴上，故M点为轨迹圆的圆心；
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子做类似平抛运动，平行y轴方向做匀速直线运动，平行x轴方向做匀加速直线运动，根据运动学公式列式求解即可；
（3）根据几何关系可以证明，题中所有从原点射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动；故粒子做类似平抛运动，然后根据平抛运动的分位移公式列式求解．
粒子从O到P过程，做匀速圆周运动，圆心在OP连线的角平分线上；初速度沿x轴正方向，洛伦兹力指向圆心，提供向心力，结合左手定则可知，圆心一定在y轴上，故M点为轨迹圆的圆心；
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子做类似平抛运动，平行y轴方向做匀速直线运动，平行x轴方向做匀加速直线运动，根据运动学公式列式求解即可；
（3）根据几何关系可以证明，题中所有从原点射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动；故粒子做类似平抛运动，然后根据平抛运动的分位移公式列式求解．
解答：解：（1）在MN上方，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，故qv0B2=Eq；
解得：v0=
由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
qv0B1=m
解得 R=
=
（2）在电场中粒子做类平抛运动：
x=R=
y=v0t=
=
故y′=y+R=
(
+
)
（3）设粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，
找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行．从Q点出磁场速度与O2Q垂直，所以垂直进入MN边界．
由几何关系：xQ=R-Rsinθ
粒子在电场中偏转，xQ=
at2 y′′=R+v0t a=
解上式得：y′′=
+
答：（1）粒子初速度大小为，有界半圆磁场的半径为
；
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标为
(
+
)；
（3）粒子打到y轴上的坐标与θ的关系式为y′′=
+
．
解得：v0=
| E |
| B2 |
由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
qv0B1=m
| ||
| R |
| mv0 |
| qB1 |
| mE |
| qB1B2 |
（2）在电场中粒子做类平抛运动：
x=R=
| Eqt2 |
| 2m |
y=v0t=
| E |
| B2 |
|
| mE |
| qB2 |
|
故y′=y+R=
| mE |
| qB2 |
|
| 1 |
| B1 |
（3）设粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，
找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行．从Q点出磁场速度与O2Q垂直，所以垂直进入MN边界．
由几何关系：xQ=R-Rsinθ
粒子在电场中偏转，xQ=
| 1 |
| 2 |
| qE |
| m |
解上式得：y′′=
| mE |
| qB1B2 |
| mE | ||
q
|
|
答：（1）粒子初速度大小为，有界半圆磁场的半径为
| mE |
| qB1B2 |
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标为
| mE |
| qB2 |
|
| 1 |
| B1 |
（3）粒子打到y轴上的坐标与θ的关系式为y′′=
| mE |
| qB1B2 |
| mE | ||
q
|
|
点评：本题关键明确粒子的运动规律，然后平衡条件和牛顿第二定律列式分析求解；对于第三问，关键明确题中所有从原点射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动，离开B1磁场时速度全部平行．
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