Question

7．上表面为光滑$\frac{1}{4}$圆弧的物体A与上表面粗糙的物体B用一自动锁紧密相连，A、B静止在光滑平面上．一质量为m的物体C从物体A的顶端自由释放，当C滑到B表面后，自动解锁A、B分离．已知m_A=2m，m_B=m，B与C之间的动摩擦因数μ=0.5，R_A=0.6m，物体B上表面长L=0.6m．（g=10m/s²）求：最终物体A和B的速度各是多少？

Answer 1

分析 C从开始下滑到刚滑到B表面的过程，对三个物体，由水平方向的动量守恒和能量守恒定律列式，求得C滑到B上时的速度和A的速度．自动解锁A、B分离后A做匀速运动，C在B上滑行，对B、C，运用动量守恒定律和能量守恒定律列式求解．

解答 解：首先以三者为系统，根据能量守恒定律得：
  mgR_A=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
 0=mv_C+（m_A+m_B）v_A
联立整理可以得到：v_C=3m/s（向右）；v_A=-1m/s（向左），即以后A以1m/s向左做匀速直线运动；
以后以C和B为系统，若二者最终共速：
则根据动量守恒定律有：mv_C+m_Bv_A=（m+m_B）v_共
得 v_共=1m/s
根据能量守恒定律有：
  μmg△x=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+{m}_{B}）{v}_{共}^{2}$
整理可以得到相对位移△x=0.8m＞L=0.6m，说明二者没有达到共速时，C已与B分离．
设分离时C的速度为${v}_{C}^{′}$，B的速度为v_B′，则根据动量守恒和能量守恒得到：
  mv_C+m_Bv_A=m${v}_{C}^{′}$+m_Bv_B′
根据能量守恒定律有：
  μmgL+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{′2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{A}^{2}$
联立整理可以得到：v_B′=2m/s，向右．（另一解 v_B′=0＜v_共，不合理，舍去）
答：最终物体A的速度是1m/s，方向向左，B的速度是2m/s，方向向右．

点评 解决本题的关键要注意分析物体的运动过程，运用木块在木板上滑行过程，遵守动量守恒定律和能量守恒定律结合进行研究．