Question

1．如图所示，一半径为R、折射率n=$\sqrt{2}$的半球形玻璃砖置于光屏MN的上方，一束半径为r=$\frac{R}{2}$的圆形单色光正对半球形玻璃砖的中心O入射，经玻璃砖折射后在下方的光屏MN上得到一个半径r′=$\frac{R}{4}$的圆形光斑，试求光屏MN到半球形玻璃砖的直径AB的距离．（tan75°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由数学知识求出光线在透光的边界入射时的入射角，分析能否发生全反射，作出光路图，由几何知识求光屏MN到半球形玻璃砖的直径AB的距离．

解答 解：因玻璃砖n=$\sqrt{2}$，所以发生全反射的临界角满足sinC=$\frac{1}{n}$，即得临界角 C=45°  
由1图可知，射入玻璃砖的光线的最大入射角满足 sinα=$\frac{\frac{R}{2}}{R}$=0.5，
即 α=30°
所以所有的入射光线均不会发生全反射．由题意可知，光屏MN的位置可能有两个，分别如图1和图2所示．
当光屏在图1所示的位置时，由折射率公式n=$\frac{sinβ}{sinα}$，可得β=45°
故∠O′CE=75°，$\overline{E{O^'}}=\overline{CE}×（2+\sqrt{3}）=\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}R$
又因为光屏上光斑的半径为r′=$\frac{R}{4}$，由几何关系可知$\overline{EF}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{4}R$，$\overline{OE}=\sqrt{{R^2}-{{（\frac{R}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，所以光屏MN到半球形玻璃砖的直径AB的距离
 $h=\overline{OE}+\overline{EF}$，代入数据可得 $h=\frac{{3\sqrt{3}+2}}{4}R$
当光屏在图2所示的位置时，由几何关系可知$\overline{E{O^'}}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}R$，$\overline{{O^'}F}=\frac{{2+\sqrt{3}}}{4}R$
所以光屏MN到半球形玻璃砖的直径AB的距离$h=\overline{OE}+\overline{EF}$，代入数据可得$h=\frac{{5\sqrt{3}+6}}{4}R$
答：光屏MN到半球形玻璃砖的直径AB的距离为$\frac{3\sqrt{3}+2}{4}R$或$\frac{5\sqrt{3}+6}{4}$R．

点评 本题关键要掌握全反射及其产生条件，结合几何知识求解即可，但要注意不能漏解．