Question

（2013?东城区二模）如图所示，在质量为M=0.99kg的小车上，固定着一个质量为m=0.01kg、电阻R=1Ω的矩形单匝线圈MNPQ，其中MN边水平，NP边竖直，MN边长为L=0.1m，NP边长为l=0.05m．小车载着线圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做匀速运动，随后进入一水平有界匀强磁场（磁场宽度大于小车长度）．磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B=1.0T．已知线圈与小车之间绝缘，小车长度与线圈MN边长度相同．求：
（1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向；
（2）小车进入磁场的过程中流过线圈横截面的电量q；
（3）如果磁感应强度大小未知，已知完全穿出磁场时小车速度v₁=2m/s，求小车进入磁场过程中线圈电阻的发热量Q．

Answer 1

分析：（1）小车刚进入磁场时线圈切割磁感线，由E=BLv₀求出感应电动势，由欧姆定律求解感应电流I的大小，根据楞次定律判断I的方向；
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和q=I△t结合起来，求出流过线圈横截面的电量q；
（3）根据牛顿第二定律得到瞬时感应电流与速度变化率的关系式，运用积分法求出小车完全进入磁场后速度，再根据功能关系，即可求出小车进入磁场过程中线圈电阻的发热量Q．

解答：解：（1）线圈切割磁感线的速度v₀=10m/s，感应电动势 E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由闭合电路欧姆定律得，线圈中电流I=

E

R

=

0.5

1

A=0.5A
由楞次定律知，线圈中感应电流方向为 M→Q→P→N→M
（2）小车进入磁场的过程中流过线圈横截面的电量为
  q=I△t=

E

R

△t
又E=

△Φ

△t

，△Φ=BS
联立得q=

BS

R

=5×10-3C
（3）设小车完全进入磁场后速度为v，
在小车进入磁场从t时刻到t+△t时刻（△t→0）过程中，根据牛顿第二定律得
-BIL=-m

△v

△t

 
 即-BLI△t=m△v
两边求和得  -BLI△t=m△v
则得  BLq=m（v₀-v）
设小车出磁场的过程中流过线圈横截面的电量为q′，
同理得 BLq′=m（v-v₁） 
又线圈进入和穿出磁场过程中磁通量的变化量相同，因而有 q=q′
故得  v₀-v=v-v₁  即 v=

v0+v1

2

=6 m/s
所以，小车进入磁场过程中线圈电阻的发热量为
  Q=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(M+m)v2=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32J
答：（1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小是0.5A，方向为 M→Q→P→N→M；
（2）小车进入磁场的过程中流过线圈横截面的电量q是5×10^-3C；
（3）小车进入磁场过程中线圈电阻的发热量Q是32J．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，难点是运用积分法求出小车完全进入磁场后的速度，关键从牛顿第二定律出发进行变形，再求和得到．运用功能关系时，要分析回路中涉及几种形式的能，分析能量是如何转化的是关键．