Question

7．2017年1月24日，报道称，俄航天集团决定将“质子-M”运载火箭的发动机召回沃罗涅日机械制造厂．若该火箭从P点发射后不久就失去了动力，火箭到达最高点M后又返回地面的Q点，并发生了爆炸．已知引力常量为G，地球半径为R．不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． 火箭在整个运动过程中，在M点的速率最大
• B． 火箭在整个运动过程中，在M点的速率小于7.9 km/s
• C． 火箭从M点运动到Q点（爆炸前）的过程中，火箭的机械能守恒
• D． 已知火箭在M点的速度为v，M点到地球表面的距离为h，则可求出地球的质量

Answer 1

分析 由火箭只受万有引力作用得到机械能守恒，进而得到最大速度的位置；再根据火箭在M点做向心运动得到速度范围，进而根据机械能守恒得到火箭运动过程最大速度的范围．

解答 解：A、火箭在整个运动过程中，只受万有引力作用，方向指向地心，故火箭在PM运动过程中，万有引力做负功，速度减小；在MQ运动过程中，万有引力做正功，速度增大，所以，在M点的速率最小，故A错误；
C、火箭在整个运动过程中，只受万有引力作用，那么，火箭的机械能守恒，故C正确；
B、设M点距离地表高度为h，那么火箭在M点做向心运动，所以，万有引力大于向心力，即$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}＞\frac{m{v}^{2}}{R+h}$，所以，$\frac{1}{2}m{v}^{2}＜\frac{GMm}{2（R+h）}$；
在地球表面，万有引力即重力，所以有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$；万有引力做向心力则有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v′}^{2}}{R}$，那么，由第一宇宙速度的定义可：知v′=7.9km/s，$\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{GMm}{2R}$；
火箭只受万有引力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$的作用，那么以无穷远为势能零点，则任一位置的势能为$-\frac{GMm}{r}$；
那么由C可知，火箭的机械能守恒，所以，火箭在Q点的动能为：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{GMm}{R+h}+\frac{GMm}{R}$$＜\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2（R+h）}$=$\frac{GMm}{2R}•\frac{R+2h}{R+h}$$≈\frac{GMm}{2R}$（h相对R来说，极小）；所以，火箭在整个运动过程中，在M点的速率小于7.9 km/s，故B正确；
D、火箭在整个运动过程中，只受万有引力作用，又有火箭在M点做向心运动，万有引力大于向心力，所以，不能求得地球质量，故D错误；
故选：BC．

点评 天体运动，卫星运动一般都是利用合外力为万有引力，然后根据向心力的变化得到运动状态的变化