Question

19．如图所示，质量为M=0.05kg、半径R=1.0m糙的水平桌面上，一质量为m=0.10kg平速度v₀=6.0m/s对环心射入环内，与环发生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不会从小孔中穿出．假设小球与环内壁的碰撞为弹性碰撞，只考虑圆环与桌面之间的摩擦，求：
①第一次碰撞后圆环的速度；
②圆环通过的总位移．

Answer 1

分析 ①小球与环内壁发生弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合解答．
②小球恰好不会从小孔穿出，则第一次碰撞后，环做匀减速直线运动，设经t时间与小球速度大小相等，由此列式求时间，再由牛顿第二定律求出摩擦力，再由能量守恒求圆环最终通过的总位移．

解答 解：①设第一次刚碰撞完，小球和环各自的速度大小分别为v₁和v₂，取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有：
mv₀=mv₁+Mv₂
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得：v₁=2m/s，v₂=8m/s
②多次碰撞后小球和环最终静止，设圆滑受到的摩擦力为f，通过的总位移为x，系统的动能全部转化为摩擦生热，则有：
fx=$\frac{1}{2}$mv₀²
第一次碰撞后经过时间t，小球恰好未从小孔中穿出，即二者共速，均为v₁，由运动学规律有：
$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t$-v₁t=2R
对圆环，由动量定理有：-ft=Mv₁-Mv₂
联立解得，圆环通过的总位移为：x=$\frac{2m}{M}$R．
答：①第一次碰撞后圆环的速度是8m/s；
②圆环通过的总位移是$\frac{2m}{M}$R．

点评 本题要注意分析清楚物体的运动过程，掌握弹性碰撞的规律：动量守恒定律、机械能守恒定律，并结合运动学公式、动量定理即可正确解题．