Question

12．如图所示，在竖直平面内固定一个四分之三圆管轨道．质量为1kg 的小球从轨道顶端A点无初速释放，然后从轨道底端B点水平飞出落在某一坡面上，坡面呈抛物线形状，且坡面的抛物线方程为 y=x²．已知圆管轨 道的半径为R，B点离地面 O点的高度也为R（R=0.4m），小球运动到B点时速度水平，大小为$\sqrt{5}$m/s （重力加速度 为 g=10m/s² ） 求：
（1）小球到达B点时对 轨道的作用力是多少？及从A运动到B的过程中克服阻力所做的功；
（2）小球从B点水平飞出到落至坡面经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球在B点时的速度，再列出在B点时的牛顿第二定律表达式即可求解；从A到B由动能定理可得克服阻力所做的功．
（2）根据平抛规律可求出小球在坡面上时的竖直分位移，然后求出时间即可．

解答 解：（1）在B点由牛顿第二定律：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
得N=22.5N
牛顿第三定律知N′=22.5N   方向竖直向下
从A到B由动能定理可得：3mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
解得：W_f=9.5J
（2）根据平抛规律应有：水平方向  x=v_Bt
竖直方向  R-y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
y=x²
联立得出  t=0.2s．
答：（1）小球到达B点时对轨道的作用力为22.5N，方向竖直向下；从A运动到B的过程中克服阻力所做的功为9.5J；
（2）小球从B点水平飞出到落至坡面经历的时间为0.2s．

点评 涉及到圆周运动的动力学问题应根据牛顿第二定律并结合动能定理求解；涉及到平抛运动问题，应根据平抛规律求解．