Question

15．如图所示，在平行于水平地面的匀速磁场中，有一小球质量为m，带电量为+q，磁场的磁感应强度为B，小球离地足够高，初速度为零．求：
（1）小球下落到最低点时，其轨迹在该点的曲线半径是多少？（提示曲线的曲率半径是曲线上该点的最大内切圆或最小外切圆的半径）
（2）小球下落的最大距离是多少
（3）小球下落过程中重力做功的最大功率为多大？

Answer 1

分析 （1）小球运动过程受到重力与洛伦兹力作用，由于牛顿第二定律可以求出曲率半径．
（2）洛伦兹力不做功，只有重力做功，由于动能定理可以求出小球下落的最大距离．
（3）小球所受重力竖直向下，洛伦兹力对小球不做功，应用功率公式P=mvcosθ可以求出重力做功的最大功率．

解答 解：（1）对m，当它运动到最底点时，
由牛顿第二定律得：qvB-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
则：m$\frac{{v}^{2}}{R}$-qvB+mg=0，
判别式：△=b²-4ac，即：（qB）²-4$\frac{{m}^{2}g}{R}$≥0，
R≥$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，取最小值为：R=$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）对m由于洛伦兹力不做功，
由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由R及m$\frac{{v}^{2}}{R}$-qvB+mg=0得：v=$\frac{-（-qB）}{2\frac{m}{R}}$=$\frac{2mg}{qB}$，
解得：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）对m，当a_y=0时，有v_y最大，
由牛顿第二定律得：mg-qv_xB=0，
qv_yB=ma_x，对上式求和消t得：∑q$\frac{△y}{△t}$B=∑m$\frac{△{v}_{x}}{△t}$，
qyB=mv_x，P_mg=mgv_y，mgy=$\frac{1}{2}$mv²，
v_x²+v_y²=v²，解得：P_mgmax=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{qB}$；
答：（1）小球下落到最低点时，其轨迹在该点的曲线半径是$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）小球下落的最大距离是$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）小球下落过程中重力做功的最大功率为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{qB}$．

点评 本题考查了带电小球在磁场中的运动，知道洛伦兹力对小球不做功只有重力对小球做功、分析清楚小球的运动过程是解题的前提与关键，分析清楚小球运动过程、应用牛顿第二定律与动能定理可以解题．