Question

8．如图所示，AB长L₀=2m的粗糙水平轨道，MD为光滑水平轨道，圆O为半径R=0.45m的下端不闭合的竖直光滑圆轨道，它的入口和出口分别为AB和MD在B、M两点水平平滑连接．D点右侧有一宽x₀=0.9m的壕沟，壕沟右侧的水平面EG比轨遭MD低h=0.45m．质量m=0.2kg的小车（可视为质点）能在轨道上运动．空气阻力不计，g取10m/s²．
（1）将小车至于D点静止，为使小车能越过壕沟，至少要使小车具有多大的水平初速度？
（2）将小车至于A点静止，用F=1.9N的水平恒力向右拉小车，F作用的距离最大不超过2m，小车在AB轨道上受到的摩擦力恒为f=0.3N，为使小车通过圆轨道完成圆周运动进入MD轨道后，能够从D点越过壕沟，力F的作用时间应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合最小水平距离得出初速度的范围．
（2）根据牛顿第二定理求出最高点的最小速度，结合动能定理求出最低点M的速度，从而判断出满足通过壕沟以及通过最高点的条件，结合动能定理求出F作用的最小距离，根据牛顿第二定律和运动学公式求出作用的最短时间，根据F作用的最大路程求出F作用的最长时间．

解答 解：（1）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
则小车具有的最小初速度${v}_{0}=\frac{{x}_{0}}{t}=\frac{0.9}{0.3}m/s=3m/s$．
（2）小球通过最高点的最小速度${v}_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.45}$m/s=$\sqrt{4.5}m/s$，
根据动能定理知，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据解得v_M=$\sqrt{13.5}$m/s＞3m/s，
可知小球能够通过最高点，则能通过壕沟，
对A到C的过程运用动能定理得，$Fx-f{L}_{0}-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0$，
代入数据解得x=1.5m，
根据牛顿第二定律得，a=$\frac{F-f}{m}=\frac{1.9-0.3}{0.2}m/{s}^{2}=8m/{s}^{2}$，
根据x=$\frac{1}{2}a{t′}^{2}$得，力F作用的最短时间$t′=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2×1.5}{8}}s≈0.6s$，
力F作用的最长时间$t″=\sqrt{\frac{2{L}_{0}}{a}}=\sqrt{\frac{2×2}{8}}s≈0.7s$，
则力F的作用时间应该满足0.6s≤t≤0.7s．
答：（1）至少要使小车具有3m/s的水平初速度；
（2）力F的作用时间应该满足0.6s≤t≤0.7s．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．