Question

17．如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内．己知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{3}$．不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（　　）

• A． 粒子的射入磁场的速度大小v=$\frac{Bqa}{m}$
• B． 粒子圆周运动的半径r=2a
• C． 长方形区域的边长满足关系$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$+1
• D． 长方形区域的边长满足关系$\frac{b}{a}$=2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于带电粒子从O点射出的方向不同而速度相同，则带电粒子做匀速圆周运动的半径相同为r=$\frac{mv}{Bq}$．而最主要的问题是最短时间和最长时间的确定，由于粒子是顺时针偏转，所以当半径小于a时，最长时间为$\frac{T}{2}$，所以不是本题所求情况，则半径必大于a，那么最短时间只能是沿y轴正方向射出的粒子，画出轨迹由几何关系求出半径，从而就能求出速度大小．随着速度方向逐渐向右倾斜，要使粒子在矩形磁场中运动时间最长，则只能是轨迹恰与上边界相切又能达到下边界．画出轨迹由几何关系就能求出a与b的关系．

解答 解：AB、最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是
沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角为$θ=\frac{t}{T}×360°=30°$，由几何关系
得到：r=2a，根据半径公式：$r=\frac{mv}{Bq}$，所以$v=\frac{2Bqa}{m}$，则A选项错误，选项B正确．
CD、在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是与磁场上边缘相切又恰恰到达b点圆弧，如图乙所
示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意偏转角为$θ′=\frac{t}{T}×360°=120°$，由几何关系有：b=2rcos30°
将以上的r=2a代入该式得：$\frac{b}{a}=2\sqrt{3}$．所以选项C错误，选项D正确．
故选：BD

点评 由于带电粒子从O点射出的方向不同而速度相同，则带电粒子做匀速圆周运动的半径相同，本题的难点在于最小和最大时间时间的速度方向的确定，时间的大小是由偏转角决定．由左手定则粒子是顺时针方向转动的，显然沿y轴正方向射出的粒子偏转角最小，最困难的是最大时间的确定若粒子顺时针转动的角度越大，则偏转时间最长，显然若粒子能达到x轴的话时间最长，则确定最长时间是恰恰与上边界相切又恰到达b点的粒子符合条件．