Question

12．如图所示K与虚线MN之间是加速电场．虚线MN与PQ之间是匀强电场，虚线PQ与荧光屏之间是匀强磁场，且MN、PQ与荧光屏三者互相平行．电场和磁场的方向如图所示．图中A点与O点的连线垂直于荧光屏．一带正电的粒子从A点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在图中的荧光屏上．已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为U=$\frac{Ed}{2}$，式中的d是偏转电场的宽度且为已知量，磁场的磁感应强度B与偏转电场的电场强度E和带电粒子离开加速电场的速度v₀关系符合表达式v₀=$\frac{E}{B}$，如图所示，试求：
（1）画出带电粒子的运动轨迹示意图，
（2）磁场的宽度L为多少？
（3）带电粒子最后在电场和磁场中总的偏转距离是多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子经加速电场加速，进入偏转电场做类平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，带电粒子最终垂直地打在荧光屏上，说明带电粒子在电场中偏转的角度与在磁场中偏转的角度大小相等，方向相反，作出轨迹如图．
（2）用程序法研究：用动能定理求解粒子获得的速度v₀，根据运动的分解求出偏转电场中偏转的角度，由牛顿定律求出磁场中轨迹半径，几何关系求出磁场的宽度．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中作圆周运动，带电粒子最终垂直地打在荧光屏上，说明带电粒子在电场中偏转的角度与在磁场中偏转的角度大小相等，方向相反，其轨迹如图所示．
（2）带电粒子在加速电场中加速，
由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，设偏转角为θ，
则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v_y=at，a=$\frac{qE}{m}$，t=$\frac{d}{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°，竖直速度与水平速度大小相等，带电粒子离开偏转电场速度为v=$\sqrt{2}$v₀，
设带电粒子在磁场中偏转的半径为R，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
 又U=$\frac{1}{2}$Ed，代入解得：R=$\sqrt{2}$d，带电粒子在偏转电场中的偏转角与在磁场中的偏转相等，
才能垂直打在荧光屏上，由图可知，磁场宽度L=Rsinθ=d；
（3）带电粒子在磁场中的半径为R=$\sqrt{2}$d，
带电粒子在偏转电场中增加的动能与在加速度电场中获得的动能相同，
设带电粒子在偏转电场中的偏转距离为：△y₁₌$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\frac{d}{{v}_{0}}$）²，解得：△y_1=0.5d，
在磁场中偏转距离为△y₂，△y₂=R（1-cosθ），解得：△y₂=0.414d，
粒子在电场、磁场中偏转的总距离：△y=△y₁+△y₂=0.9d；
答：（1）带电粒子的运动轨迹示意图如图所示；
（2）磁场的宽度L为d；
（3）带电粒子最后在电场和磁场中总的偏转距离是0.9d．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在电场做类平抛运动，运用运动的合成与分解方法处理，在磁场中做匀速圆周运动，关键是画轨迹．