Question

9．如图所示的坐标系，在y轴左侧有垂直纸面、磁感应强度为B的匀强磁场．在x=L处，有一个与x轴垂直放置的屏，y轴与屏之间有与y轴平行的匀强电场．在坐标原点O处同时释放两个均带正电荷的粒子A和B，粒子A的速度方向沿着x轴负方向，粒子B的速度方向沿着x轴正方向．已知粒子A的质量为m，带电量为q，粒子B的质量是n₁m，带电量为n₂q（n₁、n₂均为正整数），释放瞬间两个粒子的速率满足关系式mv_A=n₁mv_B．若已测得粒子A在磁场中运动的半径为r，粒子B击中屏的位置到x轴的距离也等于r．粒子A和粒子B的重力均不计．
（1）若r、m、q、B已知，求v_A．
（2）求粒子A和粒子B打在屏上的位置之间的距离（结果用r、n₁、n₂表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子A在磁场中做半个圆周的匀速圆周运动后进入电场做类平抛运动，粒子B在电场中做类平抛运动，可画出轨迹，由牛顿第二定律求出粒子的速度．
（2）粒子A在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．粒子A和粒子B做类平抛运动过程中，运用运动的分解法求出偏转的距离，由几何关系即可求解粒子A和粒子B打在屏上的位置之间的距离．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示，粒子A在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qv_AB=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$，解得：v_A=$\frac{qBr}{m}$；
（2）由题意，两个粒子的速率满足关系式：mv_A=n₁mv_B，
粒子A和粒子B做类平抛运动过程中，沿电场方向上的侧移分别为：
y_A=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\frac{L}{{v}_{A}}$）²，r=$\frac{1}{2}$$\frac{{n}_{2}qE}{{n}_{1}m}$（$\frac{L}{{v}_{B}}$）²，由以上两式解得：y_A=$\frac{r}{{n}_{1}{n}_{2}}$，
所以，粒子A和粒子B打在屏上的位置之间的距离为：△y=2r+r-y=3r-$\frac{r}{{n}_{1}{n}_{2}}$；
答：（1）若r、m、q、B已知，v_A为$\frac{qBr}{m}$；
（2）粒子A和粒子B打在屏上的位置之间的距离为3r-$\frac{r}{{n}_{1}{n}_{2}}$．

点评 本题中带电粒子分别磁场中和电场中运动的问题，画出粒子的运动轨迹是解题的关键，同时，要会运用几何知识求解距离与粒子半径和偏转距离的关系，难度适中．