题目内容

20．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，导轨和金属杆的电阻可忽略．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦，重力加速度为g．求：
（1）在答题纸上画出由b向a方向看去，ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； 
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为υ时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）在杆下滑达到最大速度时，电阻R消耗的电功率．

分析 （1）对ab进行受力分析，然后作出受力示意图；
（2）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由牛顿第二定律求出加速度；
（3）当杆受到的合力为零时，杆做匀速直线运动，杆达到稳定，由平衡条件可以求出杆的速度，然后由电功率公式求出R上的电功率．

解答 解：（1）ab杆受三个力：重力mg，竖直向下；支持力N，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上．受力示意图如图所示．
（2）当ab杆速度为v时，感应电动势：E=BLv，
此时电路中电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$，
ab杆受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
根据牛顿运动定律得：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma，
解得，a=gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（3）当ab杆受到的合力为零时，杆达到稳定，
由平衡条件得：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$，
解得：vm=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
感应电动势：E=BLvm=$\frac{mgRsinθ}{BL}$，
电路电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{mgsinθ}{BL}$，
电阻R上的功率：P=I2R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；   
答：（1）受力示意图如上图所示；
（2）ab杆中的电流为$\frac{BLv}{R}$，其加速度的大小为sinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（3）电阻R消耗的电功率$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题考查了作受力示意图、求电流与加速度，分析清楚运动过程、正确受力分析、应用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律即可正确解题．

练习册系列答案
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