Question

20．甲、乙两只小船的质量均为M=120kg，静止于水面上，甲船上的人质量m=60kg，通过一根长为L=10m的绳用F=120N的水平拉乙船，求：
（1）两船相遇时，两船分别移动了多少距离？
（2）为防止两船相撞，人至少应以多大的速度跳离甲船？（忽略水的阻力）

Answer 1

分析 （1）先根据牛顿的第二定律求出两船的加速度，再根据位移时间公式结合位移关系求出拉绳的时间，从而求出两船行进的距离．
（2）根据速度时间公式求出相撞前的速度，再根据船和人水平动量守恒列式，根据速度关系列式即可求解．

解答 解：（1）对甲船${a}_{甲}=\frac{F}{{M}_{甲}+m}=\frac{120}{120+60}=\frac{2}{3}$m/s²，
对乙船${a}_{乙}=\frac{F}{{M}_{乙}+m}=\frac{120}{120+60}=\frac{2}{3}$m/s²
设人拉绳用了时间为t甲乙两船相遇，
由位移关系得$\frac{1}{2}{{a}_{甲}t}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{乙}{t}^{2}=L$
解得：t=$\sqrt{15}$s
甲船位移${x}_{甲}=\frac{1}{2}{{a}_{甲}t}^{2}=5m$，
乙船位移${x}_{乙}=\frac{1}{2}{{a}_{乙}t}^{2}=5m$，
（2）设人相对地面以速度v跳上乙船，取甲船的运动方向为正方向，相遇前的瞬间：
甲船的速率v_甲=a_甲t=$\frac{2}{3}$×$\sqrt{15}$=$\frac{2}{3}\sqrt{15}$m/s（方向向右），
乙船的速率v_乙=a_乙t=$\frac{2}{3}$×$\sqrt{15}$=$\frac{2}{3}\sqrt{15}$m/s（方向向左），
对甲船和人水平动量守恒（M_甲+m）v_甲=M_甲v_甲′+mv
对乙船和人水平动量守恒（M_乙+m）v_乙′=mv-M_乙v_乙
为避免两船相撞的条件为：v_甲′≤v_乙′
解得v$≥\frac{2}{3}\sqrt{15}$m/s
答：（1）两船相遇时，两船都移动了5m的距离；
（2）为防止两船相撞，人至少应以$\frac{2}{3}\sqrt{15}m/s$的速度跳离甲船．

点评 本题考查了匀变速直线运动规律，通过动量守恒定律求物体的运动速度．在使用动量守恒定律时，应该先判断条件：系统合外力为零．