Question

10．如图所示，在光滑水平面上有一个长为L的木板B，上表面粗糙．在其左端有一个光滑的$\frac{1}{4}$圆弧槽C与长木板接触但不连接，圆弧槽的下端与木板的上表面相平，B、C静止在水平面上．现有滑块A以初速度v₀从右端滑上B并以$\frac{{v}_{0}}{2}$滑离B，未到达C的最高点，A、B、C质量均为m，求：
①木板B上表面的动摩擦因数μ；
②A与C分离时A、B、C三者的速度．

Answer 1

分析 ①当A在B上滑动时，A与BC整体发生相互作用，由于水平面光滑，A与BC组成的系统动量守恒列出等式，由能量守恒得知系统动能的减少量等于滑动过程中产生的内能列出等式，联立求解．
②当A滑上C，B与C分离，A、C发生相互作用，A、C组成的系统水平方向动量守恒，由A、C组成的系统机械能守恒列出等式，联立求解．

解答 解：①当A在B上滑动时，A与BC整体发生作用，规定向左为正方向
由系统动量守恒：$m{v_0}=m（\frac{1}{2}{v_0}）+2m{v_1}$
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{4}$
由能量守恒定律：Q=-△E_k
所以：Q=$μmgL=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{（\frac{1}{2}{v_0}）^2}-\frac{1}{2}2mv_1^2$
解得：$μ=\frac{5{v}_{0}^{2}}{16gL}$
②A滑上C后，B与C分离，只有A与C发生相互作用，B的速度一直为$\frac{{v}_{0}}{4}$，设A滑离C时，A的速度为v_A，C的速度为v_C
选定水平向左为正方向，对A与C组成的系统
由系统动量守恒：$m•\frac{{v}_{0}}{2}+m{v}_{1}=m{v}_{A}+m{v}_{C}$
由系统能量守恒：$\frac{1}{2}m（{\frac{{v}_{0}}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{4}$，${v}_{C}=\frac{{v}_{0}}{2}$，${v}_{B}={v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{4}$
答：①木板B上表面的动摩擦因数是$\frac{5{v}_{0}^{2}}{16gL}$；
②A与C分离时A、B、C三者的速度分别是$\frac{{v}_{0}}{4}$，$\frac{{v}_{0}}{4}$和$\frac{{v}_{0}}{2}$．

点评 该题考查多物体、多过程的动量守恒，解决该题关键要能够正确分析对应的过程，熟练运用动量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解．