Question

1．如图所示，内壁光滑的细导管弯成半径为R的圆形轨道竖直放置．质量为m的A球和质量为2m的B球，以大小相同的线速度在管内滚动，当A小球运动到最高点时，B小球运动到最低点，重力加速度取g．
（1）当两球以一定速度运动时，A球运动到最高点时，A球对导管没有力，求此时导管受B球的作用力的大小和方向．
（2）请讨论，A、B小球是否存在一个速度，出现使导管受A、B球的作用力的合力为零的情况？若存在，求此时的速度．

Answer 1

分析 （1）A球对导管没有力，靠重力提供向心力，B球靠支持力和重力的合力提供向心力，抓住两球速度大小相等，求出导管对B球的支持力，从而得出导管受到球B的作用力．
（2）当B球在上、A球在下时，A球对导管的力向下，B球对导管的力向上，抓住这两个力大小相等，结合牛顿第二定律求出速度的大小．

解答 解：（1）当A球运动到最高点时，对管道没有力，对A：mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
设管道对B的作用力为F_N对B：F_N-2mg=$2m•\frac{{v}^{2}}{R}$，
则F_N=4mg 由牛顿第三定律 B对管道作用力为：F_N′=4mg       
方向竖直向下．                                 
（2）当A球在下，B球在上时，对A：F_A-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
对B：F_B+2mg=$2m\frac{{v}^{2}}{R}$，
因为导管受A、B球的作用力的合力为零，则有：F_A=F_B，
解得：v=$\sqrt{3gR}$．     
答：（1）此时导管受B球的作用力的大小为4mg，方向向下．
（2）存在这样的速度，速度大小为$\sqrt{3gR}$．

点评 解决本题的关键知道小球在最高点和最低点向心力的来源，抓住两球速度大小相等，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．