Question

12．如图所示，在直角坐标系xoy平面内有沿x轴正方向的水平匀强电场，场强为E．在正方形ABCD（O为正方形的中心）与O为圆心半径为2L的圆形之间的区域加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．在y轴上有一挡板PQ，挡板长为L，挡板的放置关于x轴对称．A为一个质子源，OA=L，可以向y轴负方向发射出速度从零开始的一系列质子，已知质子的质量为m，电量为q，质子的重力忽略不计．求：
（1）若平面内只有电场，没有磁场，速度V满足什么条件的质子能够打在PQ板上；
（2）若平面内只有磁场，没有电场，求速度满足什么条件的粒子运动中能够经过C点？
（3）若平面内只有磁场，没有电场，求粒子第一次回到A点的时间满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）若平面内只有电场，没有磁场，质子在电场中做类平抛运动，将运动分解即可；
（2）若平面内只有磁场，没有电场，质子在磁场中做匀速圆周运动，结合几何关系求出半径，然后又洛伦兹力提供向心力，即可求出；
（3）若平面内只有磁场，没有电场，质子在磁场中做匀速圆周运动，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$，找出粒子偏转的角度，即可求出时间．

解答 解：（1）质子在电场中做类平抛时：
qE=ma--------①
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$--------②
s=vt----------③
打在PQ板应有：$s≤\frac{1}{2}L$----------④
由①②③④得：$v≤\frac{1}{2}\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$----------⑤
（2）在磁场中：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$----------⑥
能过C点应满足：$\frac{1}{2}L＜r≤L$----------⑦
由⑥⑦得：$\frac{qBL}{2m}＜v≤\frac{qBL}{m}$----------⑧
（3）在磁场中：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$----------⑨
质子从A出发又回到A，当$L＜r≤\frac{3}{2}L$时，质子运动一个圆周，时间最短，最短时间：
${t}_{min}=T=\frac{2πm}{qB}$----------⑩
当$r=\frac{1}{2}L$，即$\frac{qBL}{2m}=v$时，时间最长，则：${t}_{max}=T+\frac{2L}{v}=\frac{（2π+4）m}{qB}$----------（11）
粒子第一次回到A点的时间应满足：$\frac{2πm}{qB}≤t≤\frac{（2π+4）m}{qB}$
答：（1）若平面内只有电场，没有磁场，速度V满足$v≤\frac{1}{2}\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$的质子能够打在PQ板上；
（2）若平面内只有磁场，没有电场，速度满足$\frac{qBL}{2m}＜v≤\frac{qBL}{m}$的粒子运动中能够经过C点；
（3）若平面内只有磁场，没有电场，粒子第一次回到A点的时间满足关系$\frac{2πm}{qB}≤t≤\frac{（2π+4）m}{qB}$．

点评 该题考查带电粒子在电场中的运动和带电粒子在磁场中的运动，关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解．