Question

5．翼型飞行器有很好的飞行性能．其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响．同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态．已知：飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F₁与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F₁=C₁v²；空气阻力F₂与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F₂=C₂v²．其中C_l、C₂相互影响，可由运动员调节，满足如图甲所示的关系．飞行员和装备的总质量为90kg．（重力加速度取g=10m/s²）

（1）若飞行员使飞行器以v₁=10$\sqrt{3}$m/s速度在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙（a）所示．则飞行器受到动力F大小为多少？
（2）若飞行员关闭飞行器的动力，使飞行器匀速滑行，且滑行速度v₂与地平线的夹角θ=30°，如图乙（b）所示，则速度v₂的大小为多少？（结果可用根式表示）
（3）若飞行员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图乙（c）所示，在此过程中C₂只能在1.75～2.5N•s²/m²之间调节，且C_l、C₂的大小与飞行器的倾斜程度无关．则飞行器绕行一周动力F做功的最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）物体做直线运动的条件是所受的合力方向与速度方向在一条直线上，根据运动员和翼型伞的受力情况进行判断；
（2）由①位置的受力分析，匀速运动时对重力进行分解，根据平衡条件求解；
（3）竖直方向匀速运动，水平方向做圆周运动，根据力的做功表达式，结合前面条件，即可求解．

解答 解：（1）由受力分析可知：$mg={C_1}v_1^2$
得C₁=3N•s²/m²，由C_l、C₂关系图象可得  C₂=2.5N•s²/m²
动力  $F={F_2}={C_2}v_1^2$
所以   F=750N             
（2）由受力分析可知
   $mgcosθ={C_1}v_2^2$
    $mgsinθ={C_2}v_2^2$
解得  ${C_1}=\sqrt{3}{C_2}$
在右图中过原点作直线正确得到直线与曲线的交点．C₂=2.3N•s²/m²，C₁=4N•s²/m²，得 v₂约为$\sqrt{195}$m/s．
   
（3）设此时飞行器飞行速率为v，圆周运动的半径为R，
F₁与竖直方向夹角为α，则有：
竖直方向合力为零  $mg={C_1}{v^2}cosα$
水平方向合力提供向心力  ${C_1}{v^2}sinα=\frac{{m{v^2}}}{R}$
动力  $F={F_2}={C_2}{v^2}$
绕行一周动力做的功为  $W=F•2πR=\frac{{2π{C_2}{m^2}g}}{C_1^2sinα．cosα}$
当C₂=1.75N•s²/m²，C₁=6N•s²/m²，α=45°时，
W有最小值．W_min=49455J
答：（1）飞行器受到动力F大小为750N；
（2）速度v₂的大小为$\sqrt{195}$m/s；
（3）飞行器绕行一周动力F做功的最小值为49455J．

点评 能正确地理解题目所提示的信息，并有一定的数据解读能力是解决该题的关键，能建立物理模型，来简化实际问题．