Question

10．粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，且沿x轴方向的电势φ与坐标值x的关系如下表格所示：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x/m	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
φ/（×105 V）	9.00	4.50	3.00	2.25	1.80	1.50	1.29	1.13	1.00

根据上述表格中的数据可作出如图所示的φ-x图象．

现有一质量为m=0.10kg、电荷量为q=1.0×10^-7C、带正电荷的滑块P（可视作质点），其与水平面间的动摩擦因数μ=0.20，g取10m/s²．问：
（1）由数据表格和图象给出的信息，写出沿x轴的电势φ与x的函数关系表达式．
（2）若将滑块P 无初速度地放在x₁=0.10m处，则滑块最终停止在何处？
（3）在上述第（2）问的整个运动过程中，滑块P 的加速度如何变化？当它位于x=0.15m时它的加速度为多大？（电场中某点场强大小为φ-x图线上某点对应的斜率大小）
（4）若滑块P从x=0.60m 处以初速度v₀ 沿x 轴负方向运动，要使滑块恰能回到出发点，其初速度v₀应为多大？

Answer 1

分析 （1）电势φ与坐标x图象是一条曲线，则φ与x关系可能是反比关系，即φ∝x^-1；也可能φ与x²关系可能是反比关系，即φ∝x^-2；…，依此类推，直到找到关系为止；
（2）滑块运动过程中，只有电场力和滑动摩擦力做功，根据动能定理列式求解即可；
（3）由于图象的切线的斜率表示电场强度，故场强逐渐变小，电场力逐渐变小；
电场力大于摩擦力时，物体加速，当电场力减小到等于摩擦力时，速度最大，此后电场力小于摩擦力，故物体开始减速，即滑块先由静到动，后由动到静，故先加速后减速．
（4）对滑块从最左侧位置返回出发点的过程，运用动能定理列式．再对从开始出发到出发点的过程，运用动能定理列式，求初速度v₀．

解答 解：（1）由数据表格和图象可得，电势ϕ与x成反比关系，即φ=$\frac{k}{x}$；
当x=0.1m时，电势φ=4.5V，代入上述公式，得到：k=4.5×10⁴Vm
故沿x轴的电势ϕ与x的函数关系表达式为：ϕ=$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$V．
（2）滑块运动的全部过程中，只有电场力和摩擦力做功，由动能定理得：
W_F+W_f=△E_K=0
设滑块停止的位置为x₂，电势为ϕ₂，有：
q（ϕ₁-ϕ₂）-μmg（x₂-x）=0
即q（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{1}}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{2}}$）-μmg（x₂-x）=0
代入数据为：1.0×10^-7×（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{0.1}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{{x}_{2}}$）-0.20×0.10×10（x₂-0.1）=0
可解得：x₂=0.225m（舍去x₂=0.1m）
故滑块最终停止在坐标为0.225m的位置．
（3）滑块在整个过程中先做加速度减小的变加速运动，后做加速度增大的变减速运动．即加速度先减小后增大．
当它位于x=0.15m时，图象上该点的切线斜率的大小表示场强大小：E=$\frac{△φ}{△x}$=$\frac{3×1{0}^{5}}{0.15}$N/C=2.0×10⁶ N/C
滑块在该点的水平合力为：F_X=Eq-μmg=2.0×10⁶×1.0×10^-7-0.20×0.10×10=0
故滑块的加速度为：a=$\frac{{F}_{x}}{m}$=0
故在上述第（2）问的整个运动过程中，它的加速度先变小后变大；当它位于x=0.15m时它的加速度为零．
（4）设滑块P到达最左侧位置为x′，电势为φ′．则对滑块从最左侧位置返回到出发点的过程中，由动能定理得：
W_F+W_f=△E_k=0
有：q（ϕ′-ϕ）-μmg（x-x′）=0
即有：q（$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x′}$-$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$）-μmg（x-x′）=0
代入数据解得：x′=0.0375m（x′=0.6m舍去）
再对滑块从开始出发到返回出发点的整个过程，由动能定理得：
-2μmg（x-x′）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v₀=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s
答：（1）由表格中的数据和图象给出的信息，写出沿x轴的电势φ与坐标值x的函数关系表达式为ϕ=$\frac{4.5×1{0}^{4}}{x}$V．
（2）若将滑块无初速度地放在x=0.10m处，则滑块最终停止在最终停止在坐标为0.225m的位置；
（3）在上述第（2）问的整个运动过程中，它的加速度先变小后变大；当它位于x=0.15m时它的加速度为零．
（4）要使滑块恰能回到出发点，其初速度v₀应为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m/s．

点评 本题首先要明确φ-x图象中任意一点的切线的斜率表示电场强度的大小，由于是变加速运动，然后对各个过程分别运用动能定理列式研究．