如图6所示.将重为G的物体A放在倾角为30°的斜面上.斜面固定在地面上.物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.1.现对物体A施加一个多大的水平力F.可使物体A保持静止?(设物体A所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图6所示，将重为G的物体A放在倾角为30°的斜面上，斜面固定在地面上，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.1.现对物体A施加一个多大的水平力F，可使物体A保持静止？（设物体A所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等）

见解析

【试题分析】
力F的大小决定了物体A相对斜面的运动趋势，当F较小时，物体A有沿斜面向下运动的趋势，物体A受沿斜面向上的摩擦力；当F较大时，物体A有沿斜面向上运动的趋势，物体A受沿斜面向下的摩擦力.而最大静摩擦力决定了外力F的施加范围.
假设物体A有沿斜面向上的运动趋势，将力F和重力G分别沿平行斜面和垂直斜面分解，则由平衡条件得
平行斜面方向上Fcos30°=Gsin30°+f
垂直斜面方向上N=Gcos30°+Fsin30°
又因为f=μN
以上三式联立并代入数据得F=0.72G
同样可得当物体A有沿斜面向下的运动趋势时，有F′cos30°+f′=Gsin30°、N′=Gcos30°+F′sin30°和f′=μN′，解得F=0.45G.
所以水平外力F的取值范围是0.45G≤F≤0.72G.

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（1）一同学按如下步骤进行实验：
A．用天平测量出重锤的质量；
B．按图示的装置安装器件；
C．将打点计时器接到电源的直流输出端上；
D．先接通电源，后释放悬挂纸带的夹子，打出一条纸带；
E．换用纸带，重复步骤D；
F．选取合适的纸带；
G．测量所选纸带上某些点之间的距离；
H．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能．
指出其中没有必要进行的一个步骤是

；操作不恰当的一个步骤是

．
（2）利用这个装置也可以测量重锤的加速度数值．这位同学打出的纸带如图乙所示，A点为打下的第一个点，0、1、2、3、4、5、6为连续的计数点，现测得s₁、s₂、s₃、s₄、s₅、s₆分别为4.03cm、4.42cm、4.80cm、5.18cm、5.57cm、5.95cm，请你根据这条纸带推算此落体过程的加速度a为

9.58

m/s²．（保留三位有效数字）
（3）某同学根据第（2）问求得的加速度数值计算重力势能的变化量△E_P，验证机械能守恒定律定律，试分析其合理性．（判断并说明理由）

（1）一轻弹簧原长为10cm，把它上端固定，下端悬挂一重为0.5N的钩码，静止时它的长度为12cm，弹簧的劲度系数为

N/m；现有一个带有半径为14cm的

光滑圆弧的物块静止放在水平面上，半径OA水平，OB竖直，如图1所示；将上述轻弹簧的一端拴在A点，另一端拴着一个小球，发现小球静止在圆弧上的P点，且∠BOP=30°，则小球重为

N．
（2）用游标卡尺测量某圆柱形金属工件的直径，其示数如图2所示，该工件的直径为

mm．

（3）用如图3所示的装置做“描绘小灯泡的伏安特性曲线”实验．小灯泡的规格为（4.5V0.3A）；电流表有0.6A和3A两个量程；电压表有3V和15V两个量程．
将以下实验步骤补充完整：
A．按如图3所示方式连接好电路，其中电流表选用0.6A的量程；电压表选用3V的量程；
B．将滑动变阻器的滑片移动到最

端；
C．闭合电键，移动滑动变阻器滑片的位置，在0～3.0V内测出6组不同的电压U和对应的电流I的值，并将测量数据填入表格；
D．打开电键，

；
E．闭合电键，移动滑动变阻器滑片的位置，在3.0～4.5V之间测出6组不同的电压U和对应的电流I的值，并将测量数据填入表格；断开电键；
F．在坐标纸上以U为横轴，I为纵轴，建立坐标系；
G．在坐标系内描出各组数据所对应的点，用平滑曲线拟合这些点；
H．拆除电路，整理仪器．
（4）某学习小组采用如图5所示的装置做“验证动能定理”实验，小车运动中所受阻力f已提前测得．
①某次实验中，在小桶中加入适当砝码使小车做加速运动，打点计时器打出的纸带如图5所示，通过正确的方法得出了打1、2两点时小车的速度大小分别为v₁、v₂，两点间的距离为L，设小车的质量为M，小桶和砝码的总质量为m，某同学按如下思路验证动能定理：以小车为研究对象，合外力的功为W_合=mgL-fL，动能增量为△Ek=

)，经多次实验后，他发现W_合总是大于△E_k，你认为产生这种误差的原因是

；
②为了减小或消除以上误差，同学们提出了以下四种改进方案，你认为有效的是

（填选项字母）．
A．使小桶和砝码的总质量m远小于小车的质量M
B．换用水平气垫导轨结合光电计时器做实验，验证mgL是否等于

)
C．设法得出轻细绳的拉力T，验证TL-fL是否等于

)
D．研究小车、小桶及砝码组成的系统，验证mgL-fL是否等于

(M+m)(

)．

（2008?大同模拟）I．图甲是一位同学在实验室中拍摄的小球做平抛运动的频闪照片的一部分，由于疏忽，照相时没有摆上背景方格板，图中方格是后来用尺子在相片上画的（图中格子的竖直线是实验中重垂线的方向），每小格的边长均为5mm．为了补救这一过失，他用一把米尺、两个三角板对小球的直径进行了测量，如图乙所示（取重力加速度g=10m/s² ）则

（1）小球直径是

mm；
（2）照相时闪光频率为

Hz；
（3）小球做平抛运动的初速度为

m/s．
Ⅱ．已知某电流表的满偏电流为10mA，内阻为8Ω．现要将此电流表与一电阻箱R连接后改装成一个量程为6.0V的电压表，并将组成的电压表与一个电源E、电阻R₀、开S构成回路，用它测量R₀两端的电压．
（1）试在实物图中画出连线完成电路连接；
（2）改装的电压表中电阻箱的取值为

592

Ω．

第一部分力＆物体的平衡

第一讲力的处理

一、矢量的运算

1、加法

表达： + = 。

名词：为“和矢量”。

法则：平行四边形法则。如图1所示。

和矢量大小：c = ，其中α为和的夹角。

和矢量方向：在、之间，和夹角β= arcsin

2、减法

表达： = －。

名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”，为“差矢量”。

法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。

差矢量大小：a = ，其中θ为和的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。

例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在T内和在T内的平均加速度大小。

解说：如图3所示，A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程。这三点的速度矢量分别设为、和。

根据加速度的定义 = 得：= ，=

由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = －，= －，根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）。

本题只关心各矢量的大小，显然：

= = = ，且： = = ， = 2=

所以：= = = ，= = = 。

（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？

答：否；不是。

3、乘法

矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。

⑴ 叉乘

表达：× =

名词：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。

叉积的大小：c = absinα，其中α为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。

叉积的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。

显然，×≠×，但有：×= －×

⑵ 点乘

表达：· = c

名词：c称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。

点积的大小：c = abcosα，其中α为和的夹角。

二、共点力的合成

1、平行四边形法则与矢量表达式

2、一般平行四边形的合力与分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

正弦定理解方向

三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

第二讲物体的平衡

一、共点力平衡

1、特征：质心无加速度。

2、条件：Σ = 0 ，或 = 0 ， = 0

例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。

解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。

答案：距棒的左端L/4处。

（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？

解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推知，N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N就过重心了）。

答：不会。

二、转动平衡

1、特征：物体无转动加速度。

2、条件：Σ= 0 ，或ΣM₊ =ΣM_-

如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。

3、非共点力的合成

大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。

作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。

第三讲习题课

1、如图7所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。

解说：法一，平行四边形动态处理。

对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N₁进行平移，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。

由于G的大小和方向均不变，而N₁的方向不可变，当β增大导致N₂的方向改变时，N₂的变化和N₁的方向变化如图8的右图所示。

显然，随着β增大，N₁单调减小，而N₂的大小先减小后增大，当N₂垂直N₁时，N₂取极小值，且N_2min = Gsinα。

法二，函数法。

看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：

= ，即：N₂ = ，β在0到180°之间取值，N₂的极值讨论是很容易的。

答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。

2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上，F随时间t的变化规律如图9所示，则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个？

解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。

静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。

水平方向合力为零，得：支持力N持续增大。

物体在运动时，滑动摩擦力f = μN ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f′≡ G ，与N没有关系。

对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f ＜ G ，而在减速时f ＞ G 。

答案：B 。

3、如图11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。

分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。

（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

⑴

由胡克定律：F = k（- R） ⑵

几何关系：= 2Rcosθ ⑶

解以上三式即可。

答案：arccos 。

（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？

答：变小；不变。

（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？

解：和上题完全相同。

答：T变小，N不变。

4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。

解说：练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。

答案：R 。

（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

解：三力共点知识应用。

答：。

4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m₁和m₂ ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示。则m₁ : m₂??为多少？

解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。

对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。

首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为α。

而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F 。

对左边的矢量三角形用正弦定理，有：

= ①

同理，对右边的矢量三角形，有： = ②

解①②两式即可。

答案：1 ：。

（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？

答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。

应用：若原题中绳长不等，而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它条件不变，m₁与m₂的比值又将是多少？

解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。

答：2 ：3 。

5、如图17所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？

解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N ，重力为G ，力矩平衡方程为：

f R + N（R + L）= G（R + L） ①

球和板已相对滑动，故：f = μN ②

解①②可得：f =

再看木板的平衡，F = f 。

同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f′= = F′。

答案：。

第四讲摩擦角及其它

一、摩擦角

1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示，亦称接触反力。

2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φ_m表示。

此时，要么物体已经滑动，必有：φ_m = arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φ_ms = arctgμ_s（μ_s为静摩擦因素），称静摩擦角。通常处理为φ_m = φ_ms 。

3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。

二、隔离法与整体法

1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。

在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。

2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。

应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。

三、应用

1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。

解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。

法一，正交分解。（学生分析受力→列方程→得结果。）

法二，用摩擦角解题。

引进全反力R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φ_m指摩擦角。

再将两图重叠成图18的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φ_m = 15°。

最后，μ= tgφ_m 。

答案：0.268 。

（学生活动）思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？

解：见图18，右图中虚线的长度即F_min ，所以，F_min = Gsinφ_m。

答：Gsin15°（其中G为物体的重量）。

2、如图19所示，质量m = 5kg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s² ，求地面对斜面体的摩擦力大小。

解说：

本题旨在显示整体法的解题的优越性。

法一，隔离法。简要介绍……

法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。

做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

答案：26.0N 。

（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？

解：略。

答：135N 。

应用：如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。

法一：隔离法。

由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ

对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦力），如图21所示。

对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

F_x = f + mgsinθ

F_y + mgcosθ= N

且 f = μN = Ntgθ

综合以上三式得到：

F_x = F_ytgθ+ 2mgsinθ ①

对斜面体，只看水平方向平衡就行了——

P = fcosθ+ Nsinθ

即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ

代入μ值，化简得：F_y = mgcosθ ②

②代入①可得：F_x = 3mgsinθ

最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（设α为F和斜面的夹角）。

答案：大小为F = mg，方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部。

法二：引入摩擦角和整体法观念。

仍然沿用“法一”中关于F的方向设置（见图21中的α角）。

先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴

再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力（R、mg和F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图22所示。

在图22右边的矢量三角形中，有： = = ⑵

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶

解⑴⑵⑶式可得F和α的值。

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