Question

16．木星是自西向东转动的，是太阳系中自转最快的行星．其质量M=2×10²⁷kg，半径R=7×10⁷m，自转周期T=4×10⁴s，取引力常量G=$\frac{20}{3}$×10^-11N•m²/kg²．（结果保留到整数位）
（1）求同一物体在木星赤道上受到的重力与在木星两极上受到重力的百分比；
（2）要使木星赤道上的物体漂浮起来，则应使木星的自转角速度增为原来的几倍．

Answer 1

分析 （1）在赤道物体的重力为万有引力的一个分力，另一个分力提供向心力；在两极上重力等于万有引力；
（2）要使木星赤道上的物体漂浮起来，则万有引力完全提供向心力，结合向心力公式F_向=mω²R分析．

解答 解：（1）在赤道，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力，故：
万有引力为：${F_万}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
向心力为：${F_向}=m{（\frac{2π}{T}）^2}R=m×{（\frac{2×3.14}{{4×1{0^4}}}）^2}×7×1{0^7}=1.7m$；
故在重力为：${F_重}=G\frac{Mm}{R^2}-m{（\frac{2π}{T}）^2}R=272.1m-1.7m=270.4m$；
故同一物体在木星赤道上受到的重力为：${F_{重2}}={F_万}=G\frac{Mm}{R^2}=（\frac{20}{3}×1{0^{-11}}）×\frac{{（2×1{0^{27}}）×m}}{{（7×1{0^7}{）^2}}}=272.1m$；
故同一物体在木星赤道上受到的重力与在木星两极上受到重力的百分比为：
$\frac{F_重}{{{F_{重2}}}}×100%=\frac{270.4m}{272.1m}×100%=99.4%$；
（2）要使木星赤道上的物体漂浮起来，则向心力等于万有引力，故向心力增加的倍数为：
$\frac{F_万}{F_向}=\frac{272.1m}{1.7m}=160$；
根据公式F_向=mω²R，角速度增加为原来的$\sqrt{160}$倍，即12.6倍；
答：（1）求同一物体在木星赤道上受到的重力与在木星两极上受到重力的百分比为99.4%；
（2）要使木星赤道上的物体漂浮起来，则应使木星的自转角速度增为原来的12.6倍．

点评 本题关键是考虑木星的自传，明确万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力提供重力，然后根据万有引力定律和同一条直线上力的合成分解知识分析．