Question

12．如图一个质量m=1kg小球沿光滑固定圆弧轨道从A点由静止开始滑下．已知轨道的末端水平，距水平地面的高度h=3.2m，小球落地点距轨道末端的水平距离x=4.8m．取g=10m/s²，求：
（1）小球离开轨道时重力做功的功率大小；
（2）若离开轨道时小球对轨道压力等其重力的2倍，则轨道半径应为多少？
（3）落地时重力的瞬时功率．

Answer 1

分析 （1）重力做功的功率等于重力与竖直分速度的乘积．
（2）根据平抛运动的高度求出运动的时间，结合水平位移和时间求出小球离开轨道时的速度大小；再由牛顿第二定律求轨道半径．
（2）落地时重力的瞬时功率由公式P=mgv_y求解．

解答 解：（1）小球离开轨道时重力与速度垂直，没有竖直分速度，由公式P=mgv_y可得重力做功的功率为0．
（2）设小球离开轨道时的速度大小为v，对于平抛运动过程有：
x=vt
h=$\frac{1}{2}$gt²
所以有：v=x$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=4.8×$\sqrt{\frac{10}{2×3.2}}$=6m/s
小球经过轨道最低点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
据题得：N=2mg
联立解得轨道半径为：r=$\frac{{v}^{2}}{g}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6m
（3）落地时小球的竖直分速度为：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×3.2}$=8m/s
落地时重力的瞬时功率：P=mgv_y=10×8W=80W
答：（1）小球离开轨道时重力做功的功率大小是0；
（2）若离开轨道时小球对轨道压力等其重力的2倍，则轨道半径应为3.6m．
（3）落地时重力的瞬时功率是80W．

点评 解决本题的关键要明确平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，重力做功的功率等于重力与竖直分速度的乘积，公式是P=mgv_y，而不是P=mgv．