Question

16．如图为竖直平面内半径为R的光滑绝缘圆轨道，其中O为圆心，A、B为轨道的最低点和最高点．半径OA与半径OC的夹角为θ．轨道所处空间存在着与轨道平面平行的水平方向的匀强电场．一质量为m带电量为+q的绝缘小球（可视为质点）从A点以v₀的初速度沿圆弧做圆周运动．已知小球在C点所受合力的功率为0．求
（1）电场强度的大小和方向；
（2）小球在B点的速度大小；
（3）小球对轨道的最小压力．

Answer 1

分析 （1）已知小球在C点所受合力的功率为0，而合力不为零，说明合力与速度垂直，即合力指向圆心，则电场力和重力的合力背离圆心，由力的合成法求电场强度的大小，并确定出电场强度的方向．
（2）由动能定理求出B点的速度大小．
（3）当小球运动到C点关于O点的对称点时速度最小，对轨道的压力最小，先由动能定理求出速度，再由牛顿运动定律求最小的压力．

解答 解：（1）在C点，电场力和重力的合力背离圆心，则小球所受的电场力水平向右，所以电场强度方向水平向右．由力的合成有：qE=mgtanθ
得：E=$\frac{mgtanθ}{q}$
（2）从A到B，由动能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$
（3）当小球运动到C点关于O点的对称点时速度最小，对轨道的压力最小，设该点为D．电场力和重力的合力大小为：F=$\frac{mg}{cosθ}$
从A到D，由动能定理得：-mgR（1+cosθ）-qERsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得：N+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由以上三式联立解得轨道对小球最小的支持力为：N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（2+$\frac{3}{cosθ}$）
答：（1）电场强度的大小为$\frac{mgtanθ}{q}$，方向水平向右；
（2）小球在B点的速度大小是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$；
（3）小球对轨道的最小压力是m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（2+$\frac{3}{cosθ}$）．

点评 本题考查带电粒子在电场和重力场复合场中的运动，灵活运用动能定理和牛顿第二定律相结合研究，可用类比的方法理解：D点相当于重力场中竖直平面内圆周运动的最高点．