题目内容
如图所示半径为R、r（R＞r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑．（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象．试设计CD段的长度．
【答案】分析：（1）小球从A运动甲圆形轨道过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度．
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，根据乙轨道最高点临界速度求出CD的临界值．一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处，根据动能定理求出CD的范围．
解答：解：（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+
解得
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为
．
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为
∵
∴小球能通过甲轨道而不撞轨
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得：
解得：x=
所以x≤
．
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0 解得：x=
．
小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0 解得：x=
所以
≤x＜
故CD的长度x≤
或
≤x＜
．
点评：本题综合运用了动能定理和机械能守恒定律，运用两规律解题时要合适地选择研究的过程．为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，另一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处．
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，根据乙轨道最高点临界速度求出CD的临界值．一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处，根据动能定理求出CD的范围．
解答：解：（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1．
由机械能守恒定律得：mgh=mg.2R+
解得
故小球经过甲圆形轨道的最高点时的速度为
．（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为
∵
∴小球能通过甲轨道而不撞轨设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，根据动能定理得：
解得：x=所以x≤
．小球到乙轨圆心等高处之前再返回，根据动能定理得：mg（3R-r）-μmgx=0 解得：x=
．小球到乙轨的最低点速度恰好速度为0，根据动能定理得：mg3R-μmgx=0 解得：x=
所以
≤x＜故CD的长度x≤
或≤x＜．点评：本题综合运用了动能定理和机械能守恒定律，运用两规律解题时要合适地选择研究的过程．为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，一种可能是越过乙轨道的最高点，另一种可能越过乙轨道的最低点，但是越不过乙轨道圆心的等高处．
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