Question

2．如图所示，带有光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧轨道的滑块静止在光滑水平面上，滑块的质量为M，使一个质量为m的小球（视为质点）由静止从A处释放，求：
（1）在小球从A处释放到从B点水平飞出过程中滑块向左移动的距离；
（2）小球从B点水平飞出时，滑块的速度．

Answer 1

分析 滑块与圆弧轨道水平方向不受外力，系统动量守恒；系统中只有重力势能向动能转化，机械能守恒；根据守恒定律列方程后联立求解．

解答 解：（1）系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁-Mv₂=0，
m$\frac{R-x}{t}$-M$\frac{x}{t}$=0，
解得：x=$\frac{m}{M+m}$R；
（2）m运动过程中，其机械能是不守恒的，因为m的重力势能转化为m和M的动能，故应是m和M组成的系统机械能守恒，又因为水平方向系统合外力为零，故系统水平方向动量守恒，取圆弧轨道最低点为零势能点，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁-Mv₂=0，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$，v₂=$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$．
答：（1）在小球从A处释放到从B点水平飞出过程中滑块向左移动的距离$\frac{m}{M+m}$R；
（2）小球从B点水平飞出时，滑块的速度$\frac{m}{M}$$\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$．

点评 本题关键是明确滑块和轨道系统动量守恒、机械能也守恒，然后根据守恒定律列方程联立求解．