Question

设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功W=mgR(1-

R

r

)，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r．已知引力常量为G，求：
（1）火星的质量；
（2）火星的第一宇宙速度大小；
（3）轨道舱的运行速度大小；
（4）火星表面大气阻力和返回舱的初速度不计，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？

Answer 1

分析：根据火星表面的重力等于万有引力求解火星的质量．
研究轨道舱绕卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求解运行速度．
根据能量守恒求解返回轨道舱至少需要获得的能量．

解答：解：（1）根据火星表面的重力等于万有引力得：

GMm

R2

=mg
M=

gR2

G

（2）根据万有引力提供向心力得：
第一宇宙速度大小v=

GM R

=

gR

（3）轨道舱绕卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：

GMm

r2

=m

v2

r

v=

GM r

=

gR2 r

（4）宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为
E_k=

1

2

mv²=

mgR2

2r

因为返回舱返回过程克服引力做功W=mgR(1-

R

r

)
所以返回舱返回时至少需要能量mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

．
答：（1）火星的质量是

gR2

G

；
（2）火星的第一宇宙速度大小是

gR

；
（3）轨道舱的运行速度大小是

mgR2

2r

；
（4）该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

能量才能返回轨道舱．

点评：向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．