Question

3．1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地利用带电粒子在磁场中的运动特点，解决了粒子的加速问题．现在回旋加速器被广泛应用于科学研究和医学设备中．

某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图．回旋加速器的核心部分为D形盒，D形盒装在真空容器中，整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒盒面垂直．两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．质子从粒子源A处进入加速电场的初速度不计，从静止开始加速到出口处所需的时间为t．已知磁场的磁感应强度为B，质子质量为m、电荷量为+q，加速器接一定频率高频交流电源，其电压为U．不考虑相对论效应和重力作用．求：
（1）质子第1次经过狭缝被加速后进入D形盒运动轨道的半径r₁；
（2）D形盒半径为R；
（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道半径之差△r是增大、减小还是不变？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子第一次加速后进入磁场的速度，然后根据洛伦兹力提供向心力，列式求出质子在磁场中的轨道半径．
（2）设质子从静止开始加速到出口处运动了n圈，质子在出口处的速度为v．根据动能定理、牛顿第二定律和周期和时间关系结合求解．
（3）求出r_k所对应的加速次数和r_k+1所对应的加速次数即可求出它们所对应的轨道半径，然后作差即可求出r_k和r_k+1，从而求出△r_k，运用同样的方法求出△r_k+1，比较△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答 解：（1）设质子第1次经过狭缝被加速后的速度为v₁
由动能定理得 $qU=\frac{1}{2}mv_1^2$…①
由牛顿第二定律有 $q{v_1}B=m\frac{v_1^2}{r_1}$…②
联立①②解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（2）设质子从静止开始加速到出口处运动了n圈，质子在出口处的速度为v，则
  $2nqU=\frac{1}{2}m{v^2}$…③
  $qvB=m\frac{v^2}{R}$…④
质子圆周运动的周期 $T=\frac{2πm}{qB}$…⑤
质子运动的总时间 t=nT…⑥
联立③④⑤⑥解得  $R=\sqrt{\frac{2Ut}{πB}}$
（3）（方法1）设k为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k，v_k+1，D₁、D₂之间的电压为U，由动能定理知$2qU=\frac{1}{2}mv_{k+1}^2-\frac{1}{2}mv_k^2$…⑦
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知${r_k}=\frac{{m{v_k}}}{qB}$，则$2qU=\frac{{{q^2}{B^2}}}{2m}（r_{k+1}^2-r_k^2）$⑧
整理得 $△{r_k}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+1}}+{r_k}）}}$…⑨
相邻轨道半径r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 $△{r_{k+1}}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+2}}+{r_{k+1}}）}}$
因U、q、m、B均为定值，且因为r_k+2＞r_k，比较△r_k与△r_k+1得△r_k+1＜△r_k．
（方法2）设k为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k-1、r_k、r_k+1，（r_k-1＜r_k＜r_k+1）．
由$2kqU=\frac{1}{2}m{v_k}^2$ 及 $q{v_k}B=m\frac{v_k^2}{r_k}$ 得 ${r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}\sqrt{k}$
得$△{r_k}_{-1}={r_k}-{r_{k-1}}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$$△{r_k}={r_{k+1}}-{r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$
假设$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$＞$（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$有$2\sqrt{k}＞\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}$
两边平方得$k＞\sqrt{{k^2}-1}$结果正确，说明假设成立．
所以△r_k-1＞△r_k．
答：（1）质子第1次经过狭缝被加速后进入D形盒运动轨道的半径r₁是$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（2）D形盒半径为R是$\sqrt{\frac{2Ut}{πB}}$．
（3）随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小．

点评 本题的难点是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，对△r_k和△r_k+1，即可得出答案．