Question

4．国标（GB/T）规定自来水在15℃时电阻率应大于13Ω•m．某同学利用图甲电路测量15℃自来水的电阻率，其中内径均匀的圆柱形玻璃管侧壁连接一细管，细管上加有阀门K以控制管内自来水的水量，玻璃管两端接有导电活塞（活塞电阻可忽略），右活塞固定，左活塞可自由移动．实验器材还有：电源（电动势约为3V，内阻可忽略），电压表V₁（量程为3V，内阻很大），电压表V₂（量程为3V，内阻很大），定值电阻R₁（阻值4kΩ），定值电阻R₂（阻值2kΩ），电阻箱R（最大阻值9 999Ω），单刀双掷开关S，导线若干，游标卡尺，刻度尺．
实验步骤如下：
A．用游标卡尺测量玻璃管的内径d；
B．向玻璃管内注满自来水，并用刻度尺测量水柱长度L；
C．把S拨到1位置，记录电压表V₁示数；
D．把S拨到2位置，调整电阻箱阻值，使电压表V₂示数与电压表V₁示数相同，记录电阻箱的阻值R；
E．改变玻璃管内水柱长度，重复实验步骤C、D，记录每一次水柱长度L和电阻箱阻值R；
F．断开S，整理好器材．

如果用游标卡尺测玻璃管内径d=30.00mm，则：
（1）玻璃管内水柱的电阻R_x的表达式为：R_x=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{R}$（用R₁、R₂、R表示）．
（2）利用记录的多组水柱长度L和对应的电阻箱阻值R的数据，绘制出如图乙所示的R-$\frac{1}{L}$关系图象．自来水的电阻率ρ=14Ω•m（保留两位有效数字）．
（3）本实验中若电压表V₁内阻不是很大，则自来水电阻率测量结果将偏大（填“偏大”“不变”或“偏小”）．

Answer 1

分析 （1）分别求出S接1和接2时电路的总电压，利用并联电压相等列式，求出R_x；
（2）从图丙读出数据，利用电阻定律求出电阻率ρ；
（3）分析若电压表V₁内阻不是很大，对测量电阻R_x的影响，再判断自来水电阻率测量的影响．

解答 解：（1）设把S拨到1位置时，电压表V₁示数为U，则此时电路电流为$\frac{U}{{R}_{1}}$，总电压U_总=$\frac{U{R}_{x}}{{R}_{1}}$+U，
当把S拨到2位置，调整电阻箱阻值，使电压表V₂示数与电压表V₁示数相同也为U，则此时电路中的电流为$\frac{U}{R}$，
总电压为：U_总′=$\frac{U}{2}$R₂+U，
由于两次总电压相等，都等于电源电压E，可得：$\frac{{R}_{x}}{{R}_{1}}$=$\frac{{R}_{2}}{R}$，
解得：R_x=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{R}$，
（2）从图乙中可知，R=2×10³Ω时，$\frac{1}{L}$=5.0m^-1，
此时玻璃管内水柱的电阻为：R_x=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{R}$=4000Ω，
水柱横截面积为：S=π（$\frac{d}{2}$）²=7.065×10^-4m²，
由电阻定律R=ρ$\frac{L}{S}$ 得：ρ=$\frac{RS}{L}$=4000×7.065×10^-4×5Ω•m=14Ω•m
（3）若电压表V₁内阻不是很大，则把S拨到1位置时，此时电路电流大于$\frac{U}{{R}_{1}}$，实际总电压将大于U_总=$\frac{U{R}_{x}}{{R}_{1}}$+U，
所以测量的R_x将偏大，因此自来水电阻率测量结果将偏大；
故答案为：（1）$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{R}$；（2）14； （3）偏大．

点评 本题考查了游标卡尺的读数，等效替代法测电阻，电阻定律以及对实验误差的分析，解答本题的关键是明确实验目的，所有的步骤都为了测电阻率，所以要测量电阻、水柱横截面积、水柱的长度．