Question

15．物块在水平恒力F作用下，静止开始从A点沿水平轨道向右运动，当到达B点时撤去恒力F．物块滑上半径为R的半圆轨道BC，从C点飞出后落回A点（设轨道光滑）．
（1）A、B两点之间的距离S至少多长？
（2）为让水平恒力F最小，A、B两点之间的距离S要多长？

Answer 1

分析 （1）物体由C到A的过程做平抛运动，将运动分解，由分位移公式得到C点的速度与S的关系．对A到C的过程，运用动能定理列式，联立可求得S．
（2）由上述表达式，运用数学知识求解S的最小值．

解答 解：（1）物体C到A的过程中做平抛运动，竖直方向有：
2R=$\frac{1}{2}$gt²；
得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向有：S=v_Ct
得：v_C=$\frac{S}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
对A到C的过程，运用动能定理得：
FS-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得：S=$\frac{4（F±\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$
所以S至少为$\frac{4（F-\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$．
（2）由上题可得：F=$\frac{2mgR}{S}$+$\frac{mg}{8R}$S
根据数学知识可知：由于$\frac{2mgR}{S}$•$\frac{mg}{8R}$S=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4}$=定值，所以当$\frac{2mgR}{S}$=$\frac{mg}{8R}$S，即 S=4R时，F有最小值．
答：（1）A、B两点之间的距离S至少为$\frac{4（F-\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$．
（2）为让水平恒力F最小，A、B两点之间的距离S要4R．

点评 本题要有分析物体的运动过程和把握解题规律的能力，根据物理规律得到解析式，再求F的最小值，这是常用的函数法，要学会运用．