Question

18．如图所示，水平轨道上弹簧的一端固定在竖直墙壁上，用小球（可视为质点）压弹簧后由A点静止释放，小球到达小孔B进入半径为R=0.4m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当小球进入圆轨道立即关闭B孔，小球恰好能在圆弧轨道内做圆周运动，小球质量为m=0.5kg，A点与小孔B的距离s=6m，小球与水平轨道的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²，不计空气阻力，试求：
（1）小球刚到达小孔B时的对圆弧轨道的压力大小；
（2）在A点释放小球时弹簧具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能在圆弧轨道内做圆周运动，在最高点时，由重力提供向心力，由此列式求出最高点的速度．再由机械能守恒定律求出小球通过B点时的速度．在B点，由合力提供小球所需要的向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力．
（2）小球从释放至B过程，由能量守恒定律可求得弹簧释放小球时的弹性势能．

解答 解：（1）由题意，小球通过圆弧轨道最高点时，由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
小球从B至最高点的过程，根据机械能守恒定律得：
 $\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立得：v_B=$\sqrt{5gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
小球通过B点，由牛顿第二定律有：
 N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=6mg=30N
由牛顿第三定律可知，小球刚到达小孔B时的对圆弧轨道的压力大小为：N′=N=30N
（2）小球从释放至B过程，由能量守恒定律，弹簧的弹性势能为：
E_p=μmgs+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：E_p=11J
答：（1）小球刚到达小孔B时的对圆弧轨道的压力大小是30N；
（2）在A点释放小球时弹簧具有的弹性势能是11J．

点评 本题的解题关键是把握最高点的临界条件：重力等于向心力，根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度．要正确分析能量是如何转化的，运用能量守恒定律研究弹性势能．