Question

14．装有乒乓球发射机的球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L₁和L₂，中间球网高度为h．发射机安装于台面左边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h．不计空气阻力，重力加速度为g．若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是（　　）

• A． $\frac{{L}_{1}}{4}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$＜v＜$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（4{{L}_{1}}^{2}+{{L}_{2}}^{2}）g}{6h}}$
• B． $\frac{{L}_{1}}{4}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$＜v＜L₁$\sqrt{\frac{g}{6h}}$
• C． $\frac{{L}_{1}}{2}$$\sqrt{\frac{g}{6h}}$＜v＜$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（4{{L}_{1}}^{2}+{{L}_{2}}^{2}）g}{6h}}$
• D． $\frac{{L}_{1}}{2}$$\sqrt{\frac{g}{6h}}$＜v＜L₁$\sqrt{\frac{g}{6h}}$

Answer 1

分析 当乒乓球垂直底边水平射出，刚好过网时速率最小，根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出最小初速度．当乒乓球水平位移最大时，速率最大，
根据几何关系求出最大水平位移，结合高度求出平抛运动的时间，从而求出最大的发射速率．

解答 解：当乒乓球垂直底边水平射出，刚好过网时速率最小，
根据$3h-h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4h}{g}}=2\sqrt{\frac{h}{g}}$，
则乒乓球过网的最小速率为：v_0min=$\frac{\frac{{L}_{1}}{2}}{{t}_{1}}=\frac{{L}_{1}}{4}\sqrt{\frac{g}{h}}$．
当乒乓球水平位移最大时，速率最大，根据3h=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{6h}{g}}$，
乒乓球的最大水平位移为：x_m=$\sqrt{{{L}_{1}}^{2}+\frac{{{L}_{2}}^{2}}{4}}$，
则最大发射速率为：v_0max=$\frac{{x}_{m}}{{t}_{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（4{{L}_{1}}^{2}+{{L}_{2}}^{2}）g}{6h}}$．
则v的取值范围为$\frac{{L}_{1}}{4}\sqrt{\frac{g}{h}}$＜v＜$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（4{{L}_{1}}^{2}+{{L}_{2}}^{2}）g}{6h}}$．

点评 本题考查了平抛运动的临界问题，关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．