Question

11．如图：平面直角坐标系xOy，在-10cm≤y≤0区域内有沿y轴正向的匀强电场，场强E=1×10⁵N/C；在0≤y≤10cm区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{\sqrt{2}}{5}$T．在y轴上Q（0，-10cm）点有粒子源，能同时沿0°～180°各个反向均匀地向电场中发射比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷c/kg的带正电粒子，它们的初速度大小均为v₀=1×10⁶m/s．不计粒子所受重力．试求；
（1）粒子第一次到达x轴上的范围；
（2）第一次到达x轴的粒子中哪个范围内的粒子能从磁场上边界射出；
（3）能从磁场上边界射出的粒子中，在磁场中运动时间的最小值．（取π≈3，结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，当粒子沿x轴正负方向射出时，到达距离最远．先求出粒子在电场中的运动时间，根据粒子在水平方向做匀速运动，求出最远距离；
（2）通过作图求出粒子在磁场中做运动时恰好没射出的临界值，求出粒子能从磁场上边界射出的范围；
（3）由于粒子进入磁场时的末速度相同，所以在磁场中运动的弧长越短，运动的时间越短．又根据几何知识可知同圆弦长越短弧长越短，找到最短的弦，推导出圆心角，求出运动时间的最小值．

解答 解：（1）带点粒子做类平抛运动
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在电场中qE=ma
解得x=0.2m=20cm
带电粒子第一次到达x轴上的范围：-20cm≤x≤20cm．
（2）带电粒子进入磁场做匀速圆周运动
带电粒子在电场中加速，设进入磁场时速度为v，由动能定理
$Eqy=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}$²
$v=\sqrt{2}×1{0}^{6}m/s$
带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，半径为r
$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
r=0.1m
由此由几何关系可知，沿y轴向上运动的带电粒子运动恰好与磁场上边界相切，没有离开磁场，经过x轴负方向的带电粒子均不能从磁场上边界射出，
只有在x轴上0＜x≤20cm内的粒子能从磁场上边界射出
（3）粒子在磁场中圆周运动的弦最短时的时间最短，即为0.1m，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°
周期$T=\frac{2πr}{v}$
最短时间t_min=T/6
${t}_{min}=7×1{0}^{-8}s$
答：（1）粒子第一次到达x轴上的范围为-20cm≤x≤20cm．；
（2）第一次到达x轴的粒子中在x轴上0＜x≤20cm内的粒子能从磁场上边界射出；
（3）能从磁场上边界射出的粒子中，在磁场中运动时间的最小值为7×10-⁸s．

点评 此题考查了粒子在复合场中的运动，首先考生需要熟练掌握平抛运动和圆周运动的基本公式，画出粒子的运动轨迹，找到临界条件，难度较大．