Question

9．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接一个灯泡，灯泡的电阻也为R．现闭合开关K，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=2mg的恒力，使金属棒由静止开始运动，当金属棒达到最大速度时，灯泡恰能达到它的额定功率．重力加速度为g，求：
（1）金属棒能达到的最大速度v_m；
（2）灯泡的额定功率P_L；
（3）若金属棒上滑距离为s时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑2s的过程中，金属棒上产生的电热Q₁．

Answer 1

分析 （1）金属棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由闭合电路欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）有电功率定义式求解额定功率
（3）当金属棒下滑直到速度达到最大的过程中，金属棒的机械能减小转化为内能，根据能量守恒定律求解电热．

解答 解：（1）金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动．
设最大速度为v_m，则速度达到最大时有：
E=BLv_m    $I=\frac{E}{2R}$     F=BIL+mgsinθ                                      
解得：${v}_{m}=\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$                                
 （2）根据电功率表达式：${P}_{L}={I}^{2}R$                                         
       解得：${P}_{L}=（\frac{E}{2R}）^{2}R=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$                                        
（3）设整个电路放出的电热为Q，由能量守恒定律有：
$F2S=Q+mgsinθ2S+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得：Q=$3mgS-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$                            
根据串联电路特点，可知金属棒上产生的电热Q₁=$\frac{Q}{2}$                                        
  解得：Q₁=$\frac{3mgS}{2}-\frac{9{m}^{3}{{g}^{2}R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）金属棒能达到的最大速度：${v}_{m}=\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）灯泡的额定功率P_L$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金属棒上产生的电热Q₁为 $\frac{3mgS}{2}-\frac{9{m}^{3}{{g}^{2}R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题对综合应用电路知识、电磁感应知识和数学知识的能力要求较高，但是常规题，要得全分．