题目内容

1．如图是测定带电粒子比荷的一种装置，图中点划线PQ是装置的轴线．A是粒子源，粒子（不计重力）自小孔飞出，经电压U0（可调）加速后沿轴线PQ进入装置B．装置B“上”、“下”两平行板间距离为d，电势差为U，磁感应强度为B1，方向与极板平行，电场、磁场的方向相互垂直且均与PQ垂直．B是仅允许沿轴线PQ方向运动的粒子才能通过的装置．C是一半径为R、圆心O在PQ上的有理想圆形边界的匀强磁场区域，磁感应强度为B2，方向与PQ垂直（垂直纸面向里）．MN为垂直于PQ的荧光屏，跟0相距L．整个装置置于真空中．测量时，仔细调整加速电压，使MN上出现亮点，测量出亮点到屛中心的距离Y．（可能用到的数学公式：tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$）

（1）带电粒子从装置B中飞出时的速度v0是多少？
（2）带电粒子的比荷为多少？

分析 （1）可知装置B为速度选择器模型，在装置B中做匀速直线运动的条件为电场力与洛伦兹力平衡，再结合匀强电场中电场强度与电势差之间的关系式即可求出速度v；
（2）带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力与几何关系联立即可求出比荷．

解答 解：（1）设粒子电量为q，B装置两板间电场强度为E，B装置为速度选择器，粒子在B装置中做匀速直线运动
有：qv0B1=Eq ①
根据匀强电场中电场强度与电势差之间的关系式可得：E=$\frac{U}{d}$ ②
①②式联立可得v0=$\frac{U}{{B}_{1}d}$ ③
（2）画出粒子运动的轨迹过程图，如图所示，设粒子从D点进入磁场，粒子做圆周运动的圆心为O′，半径为r，所转过的圆心角为2θ，
根据对称性可知粒子沿半径方向入射一定沿半径方向出射，延长MC正好过圆心O．
根据洛伦兹力提供向心力：qv0B2=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ 
可得：r=$\frac{{mv}_{0}}{q{B}_{2}}$ ④
根据几何关系可知：∠MOQ=∠CO′D=2θ，∠DO′O=θ
在△MOQ中有：tan2θ=$\frac{Y}{L}$ ⑤
在△O′DO中有：tanθ=$\frac{R}{r}$ ⑥
根据题中所给数学公式可得：tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$ ⑦
联立③④⑤⑥⑦式可得：$\frac{q}{m}$=$\frac{（\sqrt{{L}^{2}+{Y}^{2}}-L）U}{RY{B}_{1}{B}_{2}d}$
答：（1）带电粒子从装置B中飞出时的速度v0为$\frac{U}{{B}_{1}d}$；
（2）带电粒子的比荷为$\frac{（\sqrt{{L}^{2}+{Y}^{2}}-L）U}{RY{B}_{1}{B}_{2}d}$．

点评 本题考查速度选择器模型和带电粒子在磁场中的运动以及数学中关于圆的平面几何知识；第二问解决问题的关键是要准确画出粒子在有界磁场中运动的轨迹，确定轨迹圆心，找到半径R满足的几何关系，再与牛顿第二定律（洛伦兹力提供向心力）结合．

练习册系列答案
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A．$\frac{{m}_{0}+m}{m}$mgB．$\frac{{m}_{0}+m}{m}$F0C．$\frac{{m}_{0}+m}{{m}_{0}}$mgD．$\frac{{m}_{0}+m}{{m}_{0}}$F0
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