Question

18．宇航员在某半径为R的星球表面以一定的初速度竖直上抛一个小球，小球经时间t落回抛出点，然后宇航员又在其高h处，以大小相同的速度沿水平方向抛出一小球，测出抛出点与落地点之间的水平距离为L，已知引力常量为G．
（1）求该星球的质量M．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少应以多大的速度抛出该小球？

Answer 1

分析 （1）根据小球竖直上抛运动和平抛运动规律求得星球表面的重力加速度，再根据万有引力与重力相等求得该星球的半径；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得该星球上的第一宇宙速度．

解答 解：（1）令小球上抛的初速度为v，则根据竖直上抛有：
$\frac{2v}{g}=t$①
由平抛运动规律有：
$v\sqrt{\frac{2h}{g}}=L$②
由①②两式解得，$g=\frac{2{L}_{\;}^{2}}{h{t}_{\;}^{2}}$
在星球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得星球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$
（2）欲使小球不再落回星球的表面，抛射速度即第一宇宙速度
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$
答：（1）求该星球的质量M为$\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少应速度$\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$抛出该小球

点评 解决问题的关键手点是在星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，难在与竖直上抛运动和平抛运动的综合，考查知识点较多．