Question

12．如图，三角形AOB为等腰直角三棱镜的横截面，以OA、OB为轴建立直角坐标系xoy，OA=OB=L，棱镜的折射率为n=$\sqrt{2}$．一束平行于斜边AB的平行光从OB边射入．光透过棱镜只考虑一次内部反射．
（i）求距离O点多远的入射光刚好从A点射出；
（ii）部分光将会从OA边以平行于AB边的方向射出，这部分透射光在垂直于光线方向的宽度．

Answer 1

分析 （1）作出光路图，根据折射定律求出sini与sinr之间的定量关系，由三角函数关系求出即可．
（2）由于题目平行于AB的方向入射，平行于AB的方向出射，光线在AB中的传播具有一定的对称性，结合该对称性与光路图，以及相应的几何关系即可求出．

解答 解：（i）设光线从C点射入刚好从A点射出，入射角与折射角分别为α和β，由折射定律知：
$n=\frac{sinα}{sinβ}$
所以：sinβ=$\frac{sinα}{n}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
所以：β=30°
所以：$OC=AO•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$
（ii）根据题意光线经过AB边全反射后从OA边AE段射出，结合光路图可知，BC之间的光线能经AB全反射后从AO之间射出．设光线宽度为d，由几何关系可知，光射到AB界面上后的入射角：γ=90°-[180°-45°-（90°+β）]=75°
而光在介质中的临界角为C，有：sinC=$\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以C=45°＜75°
光线在AB的界面上发生全反射，BC的宽度为：$\overline{BC}=OB-OC=L-\frac{\sqrt{3}}{3}L$
根据光路可逆可得：$\overline{AE}=\overline{BC}$=$L-\frac{\sqrt{3}}{3}L$
光线的宽度为：d=$\overline{AE}•sin45°$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}L$
答：（i）距离O点$\frac{\sqrt{3}}{3}L$远的入射光刚好从A点射出；
（ii）部分光将会从OA边以平行于AB边的方向射出，这部分透射光在垂直于光线方向的宽度是$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}L$．

点评 该题考查光的折射定律的应用，解决几何光学问题正确画出光路图是解决问题的关键，另外要会灵活借助数学知识．