Question

1．如图所示，传输带与水平面间的倾角为θ=37°，皮带以10m/s的速率运行，在传输带上端A处无初速地放上质量为0.5kg的物体，它与传输带间的动摩擦因数为0.5．若传输带A到B的长度为16m，则物体从A运动到B的时间为多少？

Answer 1

分析 首先判定μ与tanθ的大小关系，μ=0.5，tanθ=0.75，所以物体一定沿传输带对地下滑，不可能对地上滑或对地相对静止．其次皮带运行速度方向未知，而皮带运行速度方向影响物体所受摩擦力方向，所以应分别讨论．
1．若传送带顺时针方向转动，物体放上A，开始所受的摩擦力方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律求出加速度的大小，以及运动到与传送带速度相同所需的时间和位移，由于重力沿斜面向下的分力大于最大静摩擦力，两者不能保持相对静止，速度相等后，物体所受的滑动摩擦力沿斜面向上，再结合牛顿第二定律和运动学公式求出到达B点的时间，从而得出物体从A到达B的时间．
2．若传送带逆时针方向转动，物块一直向下做加速运动，由牛顿第二定律结合运动学的公式即可求出．

解答 解：当皮带的上表面以10 m/s的速度向下运行时，刚放上的物体相对皮带有向上的相对速度，物体所受滑动摩擦力方向沿斜坡向下，该阶段物体对地加速度：
 a₁=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsin37°+μgcos37°=（10×0.6+0.5×10×0.8）m/s²=10 m/s²，方向沿斜坡向下
物体赶上皮带对地速度需时间 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{10}{10}$s=1 s
在t₁ s内物体沿斜坡对地位移 s₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×$10×1²m=5 m
当物体速度超过皮带运行速度时物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，物体对地加速度为
 a₂=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=gsin37°-μgcos37°=（10×0.6-0.5×10×0.8）m/s²=2 m/s²
物体以2 m/s²加速度运行剩下的11 m位移需时间t₂
则s₂=v t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
即11=10t₂+$\frac{1}{2}$×2t₂²
t₂=1 s （t₂′=-11 s舍去）
所需总时间t=t₁+t₂=2 s
若传送带运动的方向向上，则物块运动时受到的摩擦力的方向向上，物块的加速度：
 a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=gsin37°-μgcos37°=（10×0.6-0.5×10×0.8）m/s²=2 m/s²
物体以2 m/s²加速度向下做加速运动，则：
$L=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{3}$
代入数据得：t₃=4s
答：物体从A运动到B的时间为2s或4s．

点评 解决本题的关键理清物体的运动规律，知道物体先做匀加速直线运动，速度相等后继续做匀加速直线运动，两次匀加速直线运动的加速度不同，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．