Question

（12分）如图 12 所示，一块质量为M，长为L的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的小物体（可视为质点），物体上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．某人以恒定的速率v向下拉绳，物体最多只能到达板的中点，已知整个过程板的右端都不会到达桌边定滑轮处．试求：

（1）当物体刚达木板中点时木板的位移；

（2）若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足什么条件？

 

Answer 1

解：（1）m与M相对滑动过程

        m匀速运动有 : vt = S₁         (1)

        M匀加速运动有：vt/2  =S₂      (2)

                   S₁  - S₂ =L/2        (3)

        联立以上三式得S₂ = L/2

        (2)设m与M之间摩擦因数为μ₁

         当桌面光滑时有   mgμ₁ = Ma₁   （4）

                          v² = 2a₁S₂     (5)

         由（4）（5）得

如果板与桌面有摩擦，因为M与桌面摩擦因数越大，m越易从右端滑下，所以当m滑到M右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ₂

对M有：    (6)

                              (7)

           (8)

对m有：                      （9）

                           （10）

联立以上五式得

所以桌面与板间的摩擦因数μ ≥ Mv²/2（m + M）gL 。