Question

1．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨BC相切于B点，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后经过B点时，对半圆导轨的压力为其重力的7倍，之后恰能沿半圆轨道运动到C点，重力加速度为g．求：
（1）从静止释放到物体脱离弹簧过程中，弹簧弹力对物体所做的功W₁；
（2）物体从B运动至C过程中，克服阻力做的功W₂；
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出B点的速度，结合能量守恒定律求出物体在A点时的弹簧的弹性势能．
（2）物体恰好通过最高点C，根据牛顿第二定律求出C点的速度，通过动能定理求阻力做的功．
（3）根据动能定理求出落回水平面时的速度大小．

解答 解：（1）在B点，根据牛顿第二定律得，${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{B}=\sqrt{6gR}$，
根据能量守恒得，弹簧弹力做功W₁=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=3mgR$．
（2）物体恰好到达最高点C，根据牛顿第二定律得，mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，解得${v}_{C}=\sqrt{gR}$．
根据动能定理得，$-mg2R-{W}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得W₂=$\frac{1}{2}mgR$．
（3）根据动能定理得，$mg2R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得落地的速度v=$\sqrt{5gR}$．
答：（1）弹簧弹力对物体所做的功为3mgR；
（2）物体从B运动至C过程中，克服阻力做的功为$\frac{1}{2}mgR$；
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小为$\sqrt{5gR}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和能量守恒定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．