Question

3．在同一平面内有一直径为l的圆形磁场区域和一边长为l的正方形电场区域cdef，相切于正方形电场区域cf边的中点g，磁场和电场方向如图所示，O点为圆形磁场的圆心．质量为m，电荷量为e的电子从a点沿半径方向以速度v₀射入圆形磁场区域，Oa和Ob之间夹角为30°，Ob与cf平行．电子恰好从g点进入电场区域，并从e点离开电场．求：
（1）圆形磁场区域内的磁感应强度B的大小和电场区域内的电场强度E的大小；
（2）电子从e点离开电场区域时的速度大小及方向；
（3）电子从a点运动到e点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，应用牛顿第二定律与类平抛运动规律求出磁感应强度与电场强度．
（2）由类平抛运动规律求出电子离开电场时的速度．
（3）求出电子在磁场中的运动时间与在电场中的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）电子运动轨迹如图所示：

根据图示，由几何知识可得：∠bOg=90°，
则电子垂直于cf进入电场，
由几何知识可得：圆心角θ=60°，
电子在磁场中的轨道半径：rsin$\frac{θ}{2}$=$\frac{l}{2}$cos30°，
解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3el}$；
电子在电场中做类平抛运动，
水平方向：l=v₀t，竖直方向：$\frac{1}{2}$l=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{el}$；
（2）电子在电场中做类平抛运动，
水平方向：l=v₀t，竖直方向：$\frac{1}{2}$l=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
解得：v_y=v₀，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，则α=45°，电子离开电场时与水平方向成45°角．
（3）电子在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{eB}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{2πm}{e}$×$\frac{3el}{2\sqrt{3}m{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}πl}{6{v}_{0}}$，
电子在电场中的运动时间：t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$，
电子从a点运动到e点所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{（\sqrt{3}π+6）l}{6{v}_{0}}$；
答：（1）圆形磁场区域内的磁感应强度B的大小为$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3el}$，电场区域内的电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{el}$；
（2）电子从e点离开电场区域时的速度大小为$\sqrt{2}$v₀，方向：与水平方向成45°角；
（3）电子从a点运动到e点所用的时间为$\frac{（\sqrt{3}π+6）l}{6{v}_{0}}$．

点评 本题考查了求磁感应强度、电场强度、电子速度、电子运动时间等问题，分析清楚电子运动过程，作出电子运动轨迹，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律即可正确解题．