Question

一个密闭容器内盛有水（未满），处于平衡状态．已知水在14℃时的饱和蒸气压为12.0mmHg．设水蒸气分子碰到水面时都变成水，气体分子的平均速率与气体的热力学温度的平方根成正比，试近似计算在100℃和14℃时，单位时间内通过单位面积水面的蒸发变成水蒸气分子之比

n100

n14

等于多少？（取一位有效数字）

Answer 1

分析：在给定的温度压强下水的饱和蒸汽压是可以通过实验测出来的．测得水的饱和蒸汽压后，由理想气体方程出发可以得到该温度压强下水的饱和蒸汽的浓度（指的是单位体积内的水分子的物质的量）．假设水的饱和蒸汽产生的分压为P₀，根据公式P₀V=nRT 得 浓度a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

从气体的热统计学角度求出单位时间内的凝结速率，我们也就得到了水在该温度压强下的蒸发速率．为了计算这个具体数值，我们将空气分子视为以各自的速度运动的刚性小球，在该的假设条件下，单位时间内能够与液面相撞的小球的数量可以认为是水的凝结速率，该速率等于水的蒸发速率．

解答：解：根据克拉伯龙方程公式P₀V=nRT 得水蒸气在T K时单位体积内的水蒸气的分子的量
a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

    ①
单位体积内分子的个数：N=N_a?a   ②
空气分子视为以各自的速度运动的刚性小球，在该的假设条件下，单位时间内能够与液面相撞的小球的数量可以认为是水的凝结速率，该速率等于水的蒸发速率．
选取以液面为底面积的边长L=1m立方体空气柱为研究对象，以垂直液面的方向为X轴建立坐标系，则由于要研究的水蒸气的数目巨大，沿各个方向运动的粒子的数目近似相同，所以有近似

1

6

N的水分子是向着水面运动的，
所以向着水面运动的分子全部落入水中的时间：t=

1

. v

    ③
又有题目知：平均速率与气体的热力学温度的平方根成正比，即：

.

v

∝

T

=k

T

     ④
所以单位时间内落入水面的分子的数目：n0=

1 6 N

t

=

1

6

N?

.

v

=

1

6

N?k

T

已知水在14℃（287K）时的饱和蒸气压为12.0mmHg．在100℃（373K）时的饱和蒸汽压是760.0mmHg．
所以：

n100

n14

=

1 6 N100?k T100

1 6 N14?k T14

=

Na?a100? T100

Na?a14? T14

=

P100 RT100 ? T100

P14 RT14 T14

=

P100

P14

?

T14

T100

=

760.0

12.0

?

287

373

=

55.55

1

答：单位时间内通过单位面积水面的蒸发变成水蒸气分子之比

n100

n14

等于55.55．

点评：该题的难点是建立一个模型：将水分子视为刚性小球，让单位体积内的水分子穿过某一面积，单位时间内落入水面的分子的数目，即为单位时间内通过单位面积水面的蒸发变成水蒸气分子数目．该模型类似于气体压强的微观解释．