题目内容
13．
如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圆形轨道，BC段为高为h=0.8m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g取10m/s2），求：（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（2）在BCD轨道上放置一个倾角θ=30°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它从B点开始到第一次落在斜面上时所用的时间．
分析 （1）根据牛顿第二定律求出小球到达B点时所受的支持力的大小，从而得出小球对B点的压力大小．
（2）根据下降h高度所用的时间求出平抛运动的水平位移，从而确定小球能否落在斜面上，若能落在斜面上，结合竖直位移和水平位移的关系求出平抛运动的时间．
解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：FN=3N．
根据牛顿第三定律得小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N；
（2）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
此时的水平距离为：x=vBt=2×0.4m=0.8m＜hcot30°，可知小球能落到斜面上．
根据$tan30°=\frac{\frac{1}{2}gt{′}^{2}}{{v}_{B}t}$得：$t′=\frac{2{v}_{B}tan30°}{g}=\frac{2×2×\frac{\sqrt{3}}{3}}{10}s=\frac{2\sqrt{3}}{15}$s．
答：（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N；
（2）小球离开B点后能落到斜面上，它从B点开始到第一次落在斜面上时所用的时间为$\frac{2\sqrt{3}}{15}s$．
点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．
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