Question

9．如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L=0.2m，长为2d，d=0.5m，上半段d导轨光滑，下半段d导轨的动摩擦因素为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，导轨平面与水平面的夹角为θ=30°．匀强磁场的磁感应强度大小为B=5T，方向与导轨平面垂直．质量为m=0.2kg的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在粗糙的下半段一直做匀速运动，导体棒始终与导轨垂直，接在两导轨间的电阻为R=3Ω，导体棒的电阻为r=1Ω，其他部分的电阻均不计，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）导体棒到达轨道底端时的速度大小；
（2）导体棒进入粗糙轨道前，通过电阻R上的电量q；
（3）整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）研究导体棒在粗糙轨道上匀速运动过程，受力平衡，根据平衡条件即可求解速度大小．
（2）进入粗糙导轨前，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求解电量．
（3）导体棒在滑动时摩擦生热为Q_f=2μmgdcosθ，再根据能量守恒定律求解电阻产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）导体棒在粗糙轨道上受力平衡：
由 mgsin θ=μmgcos θ+BIL   
得：I=0.5A                     
由BLv=I（R+r）   
代入数据得：v=2m/s                               
（2）进入粗糙导轨前，导体棒中的平均电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$
导体棒中的平均电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$=$\frac{BLd}{（R+r）△t}$             
所以，通过导体棒的电量为：q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLd}{R+r}$=0.125C          
（3）由能量守恒定律得：2mgdsin θ=Q_电+μmgdcos θ+$\frac{1}{2}$mv²     
得回路中产生的焦耳热为：Q_电=0.35J                   
所以，电阻R上产生的焦耳热为：Q=$\frac{R}{R+r}$Q_电=0.2625J         
答：（1）导体棒到达轨道底端时的速度大小是2m/s；
（2）导体棒进入粗糙轨道前，通过电阻R上的电量q是0.35C；
（3）整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q是0.2625J．

点评 本题实质是力学的共点力平衡与电磁感应的综合，都要求正确分析受力情况，运用平衡条件列方程，关键要正确推导出安培力与速度的关系式，分析出能量是怎样转化的．