Question

13．如图所示，倾角为θ=37°的传送带始终保持以v=5m/s的速率顺时针匀速转动，AB两端距离d=15.25m．现将一木箱（可视为质点）无初速度从A端放上传送带，木箱与传送带动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求木箱到达B端时的速度大小和木箱从A端运动到B端所用的时间．

Answer 1

分析 对物块受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度，速度相等后，以另一加速度继续做匀加速运动，根据牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式即可求解．

解答 解：物块刚放上传送带时，对物块受力分析，受到重力、支持力和沿斜面向下的摩擦力，根据牛顿第二定律，有
$mgsin37°+μmgcos37°=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=gssin37°+μgcos37°=10m/{s}_{\;}^{2}$
设经时间${t}_{1}^{\;}$速度相等，则有
${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{5}{10}=0.5s$
匀加速运动的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{5}_{\;}^{2}=1.25m$
速度相等以后，由于mgsin37°＞μmgcos37°，继续做匀加速运动，摩擦力变为沿传送带向上
根据牛顿第二定律，有$mgsin37°-μmgcos37°=m{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=gsin37°-μgcos37°=2m/{s}_{\;}^{2}$
第二阶段的位移${x}_{2}^{\;}=L-{x}_{1}^{\;}=15.25-1.25=14m$
${x}_{2}^{\;}=v{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
代入数据：$14=5{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}×2{t}_{2}^{2}$
解得：${t}_{2}^{\;}=2s$
到达B端的速度${v}_{B⊆}^{\;}=v+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}=5+2×2=9m/s$
从A端运动到B端所用的时间$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=0.5+2=2.5s$
答：木箱到达B端时的速度大小9m/s和木箱从A端运动到B端所用的时间2.5s

点评 解决本题的关键知道物体在传送带上的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律综合求解，难度中等．