Question

7．如图所示，光滑的绝缘斜面的倾角为30°，斜面右上方存在沿斜面向下的匀强电场，物体A与B均可视为质点，质量分别为m、2m，A带正电，电荷量为q，B不带电．A位于光滑绝缘的斜面上，B位于竖直的轻弹簧上，弹簧的劲度系数为k，下端与地面连接．上端与物体B连接．A、B用不可伸长的轻质绝缘细线通过光滑的定滑轮连接．调整滑轮的高度，使细线与斜面平行，斜面长度、B与滑轮之间的距离均足够大．开始时A、B均静止且细线拉力T=4mg，重力加速度为g，不计空气阻力．求：
（1）电场强度的大小和弹簧的伸长量x；
（2）若把电场的方向改为沿斜面向上，且E′=$\frac{mg}{2q}$，不考虑电场变化的其他效应．求：
①A刚开始运动时的细线拉力的大小？
②当A的位移为2x时，A、B的速度多大？

Answer 1

分析 （1）分别以A和B为研究对象，由平衡条件和胡克定律求解电场强度和弹簧的伸长量．
（2）①A刚开始运动时分别以A、B为研究对象，运用牛顿第二定律列式，求解细线拉力的大小．
②当A的位移为2x时，分析弹簧弹性势能的变化，对系统，运用能量守恒定律求A、B的速度．

解答 解：（1）以A为研究对象，由平衡条件得：
  qE+mgsin30°=T
又 T=4mg
解得：E=$\frac{7mg}{2q}$
以B为研究对象，由平衡条件和胡克定律得：
  kx+2mg=T
解得 x=$\frac{2mg}{k}$
（2）若把电场的方向改为沿斜面向上，且E′=$\frac{mg}{2q}$，则
①A刚开始运动时，应用牛顿第二定律得：
  T′+qE′-mgsin30°=ma                               
A开始运动时对B应用牛顿第二定律有：
  kx+2mg-T′=2ma      
联立解得 T′=$\frac{4mg}{3}$                 
②当A的位移为2x时，B向下运动的位移也为2x，此时弹簧被压缩x，弹簧的弹性势能与原来的相等．对A、B、细线构成的系统，由能量守恒定律得
   2mg•2x+qE′•2x-mgsin30°•2x=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²；
解得 v=4g$\sqrt{\frac{m}{3k}}$
答：
（1）电场强度的大小是$\frac{7mg}{2q}$，弹簧的伸长量x是$\frac{2mg}{k}$；
（2）①A刚开始运动时的细线拉力的大小是$\frac{4mg}{3}$；
②当A的位移为2x时，A、B的速度是4g$\sqrt{\frac{m}{3k}}$．

点评 本题是带电体在电场中平衡和运动问题，解决的方法与力学问题类似，关键要正确分析受力情况，运用平衡条件、牛顿第二定律以及能量守恒定律研究．