Question

8．如图所示，墙角固定着一根轻质弹簧，质量为M、半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧形滑槽静止在光滑水平面上，滑槽底端与水平面相切．一小球（可视为质点）从圆弧形滑槽的顶端由静止释放，已知小球质量为m，M=3m．求：
（1）弹簧的最大弹性势能E_pm
（2）小球能冲上滑槽的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球下滑过程，小球与弧形槽组成的系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出小球滑到滑槽底端时小球与弧形槽的速度，小球压缩弹簧的过程中，小球和弹簧构成的系统机械能守恒，当小球速度减为0时，弹簧的弹性势能最大，由机械能守恒定律求弹簧的最大弹性势能E_pm．
（2）小球被弹簧弹开后，小球追上并冲上滑槽，当小球达到最大高度h时，两者速度相等，然后应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）以水平向左为正．在小球下滑过程中，以M和m构成的系统在水平方向上动量守恒．
设M和m分离时的速度大小分别为v₁、v₂
则有　0=Mv₁-mv₂　　　　　　           　　①
此过程中M和m构成的系统机械能守恒，则有
   mgR=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²　　　          ②
又　　M=3m　              　　③
联解①、②、③得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{6}}$　④
v₂=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$　     　⑤
小球压缩弹簧的过程中，小球和弹簧构成的系统机械能守恒，当小球速度减为0时，弹簧的弹性势能最大，最大为：
 E_pm=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgR　　　　　　　　　⑥
（2）小球被弹簧弹开后，速度大小仍为v₂，方向向左，小球追上并冲上滑槽，当小球达到最大高度h时，两者速度相等，设为v，此过程中M和m构成的系统在水平方向上动量守恒得
   Mv₁+mv₂=（m+M）v　　　　　　　　　 ⑦
此过程中M和m构成的系统机械能守恒，有
  $\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh　　　⑧
联解得：h=$\frac{1}{4}$R　　　　　　　　　　　⑨
答：
（1）弹簧的最大弹性势能E_pm是$\frac{3}{4}$mgR．　　
（2）小球能冲上滑槽的最大高度是$\frac{1}{4}$R．

点评 本题考查了动量守恒定律与机械能守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，要注意圆弧槽不是固定的，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．